度序列与Havel-Hakimi定理

1. 度序列

度序列：若把图 G 所有顶点的度数排成一个序列 s，则称 s 为图 G 的度序列。例如，如图所示无向图 G1 的度序列为 s: 2, 5, 4, 3, 3, 1；或 s': 1, 2, 3, 3, 4, 5；或 s'': 5, 4, 3, 3, 2, 1。

其中序列 s 是按顶点序号排序的，序列 s'是按度数非减顺序排列的，序列 s''是按度数非增顺序排列的。给定一个图，确定它的度序列很简单，但是其逆问题并不容易，即给定一个由非负整数组成的有限序列 s，判断 s 是否是某个图的度序列。

序列是可图的：一个非负整数组成的有限序列如果是某个无向图的度序列，则称该序列是可图的。判定一个序列是否是可图的，有以下 Havel-Hakimi 定理。

2. Havel-Hakimi定理

Havel-Hakimi 定理： 由非负整数组成的非增序列 s： d₁, d₂, …, d_n(n ≥ 2, d1 ≥ 1) 是可图的，当且仅当序列 s1: d₂ – 1, d₃ – 1, …, d_d₁₊₁ – 1, d_d1+2, …, d_n 是可图的。序列 s₁ 中有 n-1 个非负整数， s 序列中 d₁ 后的前 d₁个度数（即 d₂～d_d1+1）减 1 后构成s₁中的前 d₁个数。

例如，判断序列 s: 7, 7, 4, 3, 3, 3, 2, 1 是否是可图的。删除序列 s 的首项 7，对其后的 7 项每项减 1，得到： 6, 3, 2, 2, 2, 1, 0。继续删除序列的首项 6，对其后的 6 项每项减 1，得到： 2, 1, 1, 1, 0, -1，到这一步出现了负数。由于图中不可能存在负度数的顶点，因此该序列不是可图的。
再举一个例子，判断序列 s: 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1 是否是可图的。删除序列 s 的首项 5，对其后的 5 项每项减 1，得到： 3, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1，重新排序后为： 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1。继续删除序列的首项 3，对其后的 3 项每项减 1，得到： 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1。如此再陆续得到序列： 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0； 1, 1, 1, 1, 0, 0； 1, 1, 0, 0, 0； 0, 0, 0, 0。由此可判定该序列是可图的。