【LeetCode Hot 100】4. 寻找两个正序数组的中位数
要求出两个数组的中位数，第一想法当然是将这两个数组进行归并排序，然后直接得到排序后长数组的中位数。由于本题的两个数组都是排序后的数组，因此省去了排序的步骤。这种方法的时间复杂度为\(O(m+n)\)，空间复杂度由于要存储排序后的长数组，所以也是\(O(m+n)\)。
有没有相对更简单的方法呢？由于我们只需要求出中位数，并不需要得到合并后的数组，所以我们可以从左往右逐个元素遍历并计数，只要我们达到了中位数所需要的下标，就可以停下来并计算中位数了。需要注意的是，如果总长度为奇数，中位数应该是中间两个元素的算术平均，因此除了当前元素之外，还需要维护前一个元素。显然，这种方法的时间复杂度为\(O(\frac{m+n}{2})\)，空间复杂度则相对第一种方法优化为了常数级。
// C++
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size(), n = nums2.size();
int len = m + n;
int prev = -1, curr = -1;
int i = 0, j = 0;
for (int cnt = 0; cnt <= len / 2; cnt++) {
prev = curr;
if (i < m && j < n) {
if (nums1[i] < nums2[j]) {
curr = nums1[i++];
} else {
curr = nums2[j++];
}
continue;
}
if (i < m) {
curr = nums1[i++];
}
if (j < n) {
curr = nums2[j++];
}
}
if (len % 2) {
return curr;
}
return (prev + curr) / 2.0;
}
};
但是，题目描述中要求解法的时间复杂度为对数级别，看到这个要求，就要想到与二分有关。
要找到两个数组的中位数，就是要找到第\(\frac{m+n}{2}\)小（和第\(\frac{m+n}{2}+1\)小）的元素。这个方法则给出了更通用的方法，用于求出第\(k\)小的元素。
要找到两个升序数组总共的第\(k\)小的元素，我们可以先比较两个数组下标为k/2 - 1的元素，假设a[k/2 - 1] < b[k/2 - 1]，那么a数组的前面几个元素只会更小，我们即使假设b数组的前面几个元素都比a[k/2 - 1]小，此时该元素也“仅仅”是总共第\(\frac{k}{2}-1\)小的元素，也就是说它最大也只能达到这个程度，而绝不可能是第\(k\)小的元素，那么我们就可以放心地把a[0..k/2-1]这个子数组全部“丢弃”不看，这样我们一次性排除了\(\frac{k}{2}\)个元素。随后我们可以继续用这个方法排除下去，直到k=1。
当然，有一些特殊情况需要考虑：
a[k/2 - 1]和b[k/2 - 1]越界，我们需要选取的是数组的最后一个元素。- 其中一个数组的元素全部被排除，可以直接返回另一个数组第\(k\)小的元素。
- \(k=1\)，只要返回第一个元素的较小值即可。
// C++
// https://leetcode.cn/problems/median-of-two-sorted-arrays/solutions/258842/xun-zhao-liang-ge-you-xu-shu-zu-de-zhong-wei-s-114/
class Solution {
public:
int getKthElement(const vector<int>& nums1, const vector<int>& nums2, int k) {
/* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
* 这里的 "/" 表示整除
* nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
* nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
* 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
* 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
* 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
* 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
* 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
*/
int m = nums1.size();
int n = nums2.size();
int index1 = 0, index2 = 0;
while (true) {
// 边界情况
if (index1 == m) {
return nums2[index2 + k - 1];
}
if (index2 == n) {
return nums1[index1 + k - 1];
}
if (k == 1) {
return min(nums1[index1], nums2[index2]);
}
// 正常情况
int newIndex1 = min(index1 + k / 2 - 1, m - 1);
int newIndex2 = min(index2 + k / 2 - 1, n - 1);
int pivot1 = nums1[newIndex1];
int pivot2 = nums2[newIndex2];
if (pivot1 <= pivot2) {
k -= newIndex1 - index1 + 1;
index1 = newIndex1 + 1;
}
else {
k -= newIndex2 - index2 + 1;
index2 = newIndex2 + 1;
}
}
}
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int totalLength = nums1.size() + nums2.size();
if (totalLength % 2 == 1) {
return getKthElement(nums1, nums2, (totalLength + 1) / 2);
}
else {
return (getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2) + getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2 + 1)) / 2.0;
}
}
};
