【LeetCode Hot 100】5. 最长回文子串

题目描述

考虑回文字符串的特点，从左往右和从右往左读都是一样的，就是说字符串成了“轴对称”。要求一字符串的最长回文子串，我们可以遍历每个字符，求以该字符为轴对称中心的最长对称子串（或者以该字符和下一个字符为中间两个字符的对称子串），在所有这样的子串中长度最长的那个就是我们要找的答案。从回文字符串的对称性来想——这是一种相对直接的想法。

// C++
class Solution {
public:
    pair<int, int> expand(const string& s, int left, int right) {
        while (left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]) {
            left--;
            right++;
        }
        return {left + 1, right - 1};
    }
 
    string longestPalindrome(string s) {
        int start = 0, end = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            auto [left1, right1] = expand(s, i, i);
            auto [left2, right2] = expand(s, i, i + 1);
            if (right1 - left1 > end - start) {
                start = left1;
                end = right1;
            }
            if (right2 - left2 > end - start) {
                start = left2;
                end = right2;
            }
        }
        return s.substr(start, end - start + 1);
    }
};

回过头来考虑，对于一个子串，如果它是一个回文字符串，那么去除首尾两个字符（当然前提是该子串的长度大于2）它仍然是一个回文子串，反过来说，对于一个回文子串，如果它前后的两个字符相同，那么把这两个新字符加上所形成的新子串也一定是个回文子串。从动态规划的角度去想，我们就找到了这个问题的状态转移方程。如果使用$P(i,j)$表示字符串s的子串$s[i:j]$是否是回文子串，则有：

• $P(i,j)=true$，$s[i:j]$是回文子串
• $P(i,j)=false$，不是

我们可以写出状态转移方程：$P(i,j)=P(i+1,j-1)\wedge (S_i==S_j)$。显然，这些情况的讨论都是基于子串长度大于2的前提之上，动态规划的边界条件是我们必须考虑的，子串长度为1时，子串一定是回文串，子串长度为2时，当且仅当两个字符相同时子串是个回文串。实际编程时，我们可以通过子串长度和子串起始位置来进行循环。

// C++
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int len = s.length();
        if (len < 2) {
            return s;
        }
 
        // dp[i][j]表示子串[i...j]是否是回文串
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(len));
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            dp[i][i] = true;
        }
 
        int begin = 0, max_len = 1;
        for (int L = 2; L <= len; L++) {
            for (int i = 0; i < len; i++) {
                int j = i + L - 1;
                if (j >= len) {
                    break;
                }
 
                if (s[i] != s[j]) {
                    dp[i][j] = false;
                } else if (j - i < 3) {
                    dp[i][j] = true;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                }
 
                if (dp[i][j] && L > max_len) {
                    max_len = L;
                    begin = i;
                }
            }
        }
 
        return s.substr(begin, max_len);
    }
};

官方题解中提到，从动态规划法的状态转移方程中可以看出，所有状态在状态转移时的可能性都是唯一的，就是说所有状态都是从某个边界状态扩展得到的，这种所谓边界状态就是子串长度为1或2的状态，从这个角度看，可以得到最开始描述的“中心扩展算法”。