题解：AT_arc185_d [ARC185D] Random Walk on Tree

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题目大意：根上挂了 $n$ 条长为 $m$ 的链，从根开始，每次随机选择和当前点直接相连了点并走过去，求期望多少步后能走每个点至少一次。

设 $f_i$ 表示当前走到第i层，期望还需要多少步能走完一条链（到达链底）。

可以列出方程：$f_i=\left\{ \begin{array}{rcl} f_1+1 & i=0 \\ \frac{f_{i-1}+f_{i+1}}{2}+1 & 1 \leq i <m \\ 0 & i=m \end{array}\right.$

不难推出 $f_{m-i}=\frac{i}{i+1} f_{m-i-1}+i$，所以 $f_1=\frac{m-1}{m} f_0+m-1$，又有 $f_0=f_1+1$，所以 $f_0=m^2$。

同理从链底走到根节点期望也是 $m^2$ 步。

走完 $n-i$ 条链后，由于走的方式是随机的，所以可以理解为在 $n$ 条链中随机找一条来走，走对的概率是 $\frac{i}{n}$ 的，所以期望要走 $\frac{n}{i}$ 次。

注意到最后一次走完不用回到根节点，所以答案为 $(2\sum\limits_{i=1}^n \frac{n}{i}-1)m^2$。

Code：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cassert>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<set>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, MOD = 998244353;
long long ny[N];
int n, m;
int main(){
//	freopen("input.txt", "r", stdin);
//	freopen("output.txt", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin >> n >> m;
	ny[0] = ny[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
		ny[i] = (MOD - MOD / i) * ny[MOD % i] % MOD;
	long long sum = 0, t = 1ll * m * m % MOD;
	for(int i = n; i; i--){
		sum = (sum + n * t % MOD * 2 % MOD * ny[i] % MOD) % MOD;
	}
	sum = (sum - t + MOD) % MOD;
	cout << sum << "\n";
}

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本文作者：louisliang
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