欧拉序的小技巧

这里的欧拉序是指 dfs 时开始和结束时将当前节点加进序列里。

上图的欧拉序就是：\(1,2,4,4,3,7,7,3,2,5,5,6,6\)。

在欧拉序中，每个点恰好会出现 \(2\) 次，记 \(x\) 第一次出现的位置为 \(dfn_x\)。可以发现 \((dfn_x,dfn_y]\) 中，\(x\) 到 \(y\) 上的链恰好出现奇数次（\(1\) 次），其他点出现偶数次（注意，这里不包括 \(\operatorname{lca}(x,y)\)）。

这有什么用吗？通过欧拉序，可以把链上问题转换为区间问题，维护一些出现奇数次的信息，如链上的异或和等。