线性基

性质

1. 线性基集合的任意不同子集的异或和不同。
2. 原集合的子集的的异或和均可以用其线性基表示。

构造过程

贪心：每插入一个数 \(x\)：

1. 从考虑 \(x\) 的二进制最高位，若在线性基无该位，则将 \(x\) 插入线性基，否则让 \(x\) 异或上线性基上那一位的数。
2. 重复上一步，直到 \(x\) 变为 \(0\)。

代码实现

void ins(long long x){
	for(int j = 50; ~j; j--){
		if((x >> i) & 1){
			if(k[j])
				x ^= k[j];
			else{
				k[j] = x;
				break;
			}
		}
	}
}

用途

广泛用于异或的问题

1. 求一个集合中子集的异或和的第 \(k\) 大的值。(如最大值 Luogu3812)
2. 求一个集合中子集的异或和为 \(s\) 的个数。（如是否 \(s\) 能被表示）