二分图

二分图最大匹配

匈牙利算法

Hall 定理

\(G=\{(X,Y),E\}\)
\(G\) 中有一个大小为 \(|X|\)的匹配的充要条件是 \(\forall A \subseteq X,|N(A)|\geq|A|\), \(N(A)\) 为 \(A\) 的邻居。

证明：

必要性：若存在 \(N(A)<A\) 则A中至少一个无法匹配出去，矛盾。证毕。
充分性：设 \(M\) 是 \(G\) 的最大匹配。若 \(|M|<|X|\)，即证：\(\exist A \subseteq X,|N(A)|<A\)，设 \(S\) 为 \(M\) 的交错轨终点集合。