Taijin

1|0定义

1|1无向图

给定无向连通图 $G=(V,E)$。

若对于 $x \in V$，从图中删去节点 $x$ 以及所有与 $x$ 相连的边之后，$G$ 分裂成两个或以上不相连的子图，则称 $x$ 为 $G$ 的割点。

若对于 $e \in E$，从图中边 $e$ 之后，$G$ 分裂成两个不相连的子图，则称 $e$ 为 $G$ 的桥或割边。

没有割点的无向连通图称为“点双连通图”。没有桥的无向连通图称为“边双连通图”。

无向图的极大点双连通子图被称为“点双连通分量”（v-DCC），无向图的极大边双连通子图被称为“边双连通分量”（e-DCC）。二者统称为“双连通分量”（DCC）。

$dfn_x$ 表示 $x$ 的 dfs 序。

$low_x$ 表示 $x$ 的子树中只经过一条边所到达的节点 $dfn$ 的最小值。

1|2有向图

2|0Tarjin 算法

2|1求强连通分量

当 $dfn_x = low_x$ 时弹栈。
缩完点后是 DAG（有向无环图）。

2|2求割点

$x$ 为割点的充要条件是：

• 若 $x$ 不为搜索树的根节点，存在 $x$ 的一个子节点 $y$，满足$dfn_x \leq low_y$
• 若 $x$ 为搜索树的根节点，存在至少 $2$ 个 $x$ 的子节点满足上述条件

2|3求桥

无向边 $(x,y)$ 是桥的充要条件是搜索树上存在 $x$ 的一个子节点 $y$ 满足 $dfn_x < low_y$。

2|4求点双连通分量

1. 当一个节点第一次访问时，把它入栈。
2. 当存在 $x$ 的子节点 $y$ 满足 $dfn_x \leq low_y$，无论下 $x$ 是否为根，弹出栈内节点直到 $y$ 被弹出，刚才弹出的所有结点和 $x$ 构成的 v-DCC。
   缩完点后可以构造出圆方树。

2|5求边双连通分量

两种方法：

（1）把所有桥删去，跑连通块。

（2）每次把当前节点入栈。遍历完 $x$ 后，若 $dfn_x = low_x$，弹出栈内元素直到 $x$ 被弹出，刚才弹出的所有结点构成一个 e-DCC。

缩完点后是一个树。

3|0易错点

1. 求 e-DCC 时不用判重边自环，但要判断父节点的反边。求 v-DCC 时要判自环，否则判孤立点时会出问题（似乎可以在判孤立点时判断，但输入时判断更简便），不用判重边和父节点。

2. 求 v-DCC 时满足 $dfn_x \leq low_y$ 时即可输出点双联通分量。求割点时当 $x$ 为根节点时，至少要有 $2$ 个 $y$ 满足条件。

3. 多测时清空 $dfn$ 数组。

4. 求删去一个点后会多出几个连通块时，答案不是这个点是否时割点，而是这个点被多少个 v-DCC 所包含（再减一）。

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本文作者：louisliang
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