Taijin

定义

无向图

给定无向连通图 \(G=(V,E)\)。

若对于 \(x \in V\)，从图中删去节点 \(x\) 以及所有与 \(x\) 相连的边之后，\(G\) 分裂成两个或以上不相连的子图，则称 \(x\) 为 \(G\) 的割点。

若对于 \(e \in E\)，从图中边 \(e\) 之后，\(G\) 分裂成两个不相连的子图，则称 \(e\) 为 \(G\) 的桥或割边。

没有割点的无向连通图称为“点双连通图”。没有桥的无向连通图称为“边双连通图”。

无向图的极大点双连通子图被称为“点双连通分量”（v-DCC），无向图的极大边双连通子图被称为“边双连通分量”（e-DCC）。二者统称为“双连通分量”（DCC）。

\(dfn_x\) 表示 \(x\) 的 dfs 序。

\(low_x\) 表示 \(x\) 的子树中只经过一条边所到达的节点 \(dfn\) 的最小值。

有向图

Tarjin 算法

求强连通分量

当 \(dfn_x = low_x\) 时弹栈。
缩完点后是 DAG（有向无环图）。

求割点

\(x\) 为割点的充要条件是：

• 若 \(x\) 不为搜索树的根节点，存在 \(x\) 的一个子节点 \(y\)，满足\(dfn_x \leq low_y\)
• 若 \(x\) 为搜索树的根节点，存在至少 \(2\) 个 \(x\) 的子节点满足上述条件

求桥

无向边 \((x,y)\) 是桥的充要条件是搜索树上存在 \(x\) 的一个子节点 \(y\) 满足 \(dfn_x < low_y\)。

求点双连通分量

1. 当一个节点第一次访问时，把它入栈。
2. 当存在 \(x\) 的子节点 \(y\) 满足 \(dfn_x \leq low_y\)，无论下 \(x\) 是否为根，弹出栈内节点直到 \(y\) 被弹出，刚才弹出的所有结点和 \(x\) 构成的 v-DCC。
   缩完点后可以构造出圆方树。

求边双连通分量

两种方法：

（1）把所有桥删去，跑连通块。

（2）每次把当前节点入栈。遍历完 \(x\) 后，若 \(dfn_x = low_x\)，弹出栈内元素直到 \(x\) 被弹出，刚才弹出的所有结点构成一个 e-DCC。

缩完点后是一个树。

易错点

1. 求 e-DCC 时不用判重边自环，但要判断父节点的反边。求 v-DCC 时要判自环，否则判孤立点时会出问题（似乎可以在判孤立点时判断，但输入时判断更简便），不用判重边和父节点。

2. 求 v-DCC 时满足 \(dfn_x \leq low_y\) 时即可输出点双联通分量。求割点时当 \(x\) 为根节点时，至少要有 \(2\) 个 \(y\) 满足条件。

3. 多测时清空 \(dfn\) 数组。

4. 求删去一个点后会多出几个连通块时，答案不是这个点是否时割点，而是这个点被多少个 v-DCC 所包含（再减一）。