低秩稀疏矩阵恢复|ADM(IALM)算法

一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。夕阳西下几时回？
无可奈何花落去，似曾相识燕归来。小园香径独徘徊。
———《浣溪沙·一曲新词酒一杯》——晏殊

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上一期介绍了低秩矩阵填充问题，这一期介绍一下低秩稀疏矩阵恢复问题。

1. 低秩矩阵恢复

将一个矩阵 \(\bf{D}~(\bf {D} = \bf {A_0} +\bf E_0)\) 分解为一个低秩矩阵部分 \(\bf{A}\) 和一个独立同分布的高斯矩阵 \(\bf{E}\) 的问题是经典的主成分分析（PCA）问题，可以通过对矩阵 \(\bf{D}\) 进行奇异值分解得到最优解。

然而，当矩阵 \(\bf{E_0}\) 为稀疏的噪声矩阵时，PCA不再适用于解决这个问题。此时，将一个矩阵 \(\bf{D}~(\bf {D} = \bf {A_0} +\bf E)\) 分解为一个低秩矩阵部分 \(\bf{A}\) 和一个稀疏矩阵部分 \(\bf{E}\) 的问题可以建模为下述优化问题：

\[\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}} ~~~rank({\bf{A}}) + \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_0} \\ s.t.~~~{\bf{D}} = {\bf{A}} + {\bf{E}} \\ \end{array}~~~~~(1)\]

其中 \({\bf{D}},{\bf{A}},{\bf{E}},{{\bf{A}}_0},{{\bf{E}}_0}{ \in \mathbb{R}^{m \times n}}\)，\(\bf D\) 是观测矩阵。(1)式中 \(rank(\bf A)\) 和 \({\left\| {\bf{E}} \right\|_0}\) 都是非线性且非凸的，优化起来非常困难，这个问题也被称为主成分追踪（Principal component pursuit, PCP）。幸运的是我们提前知道一些先验信息，即矩阵 \(\bf A\) 是低秩的且矩阵 \(\bf E\) 是稀疏的，从上一期介绍的关于矩阵填充理论中可知，矩阵的秩和 \(\ell_0\) 范数问题都可以进行凸松弛，从而为求解上述问题提供了途径。由于矩阵的核范数是矩阵秩的凸包络，矩阵的（1,1）范数是矩阵0范数的凸包络，因此可以将问题(1)松弛为如下凸优化问题：

\[\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}}~~~ {\left\| {\bf{A}} \right\|_*} + \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_{1,1}} \\ s.t.~~~{\bf{D}} = {\bf{A}} + {\bf{E}} \\ \end{array}~~~~~~(2)\]

求解式(2)也称为鲁棒主成分分析(RPCA)。

文献[1]中指出，只要低秩矩阵 \(\bf{A_0}\) 的奇异值分布合理且稀疏矩阵的非零元素均匀分布，那么凸优化问题PCP就能够以接近1的概率从未知的任意误差中恢复出原始低秩矩阵 \(\bf A_0\) 来。

求解(2)式的算法可以分为如下几大类：

迭代阈值算法
对于PCP问题时，迭代阈值算法(Iterative Thresholding, IT) 通过交替更新矩阵 \(\bf A\) 和 \(\bf E\) 来求解。IT算法的迭代形式简单且收敛，但它的收敛速度比较慢，且难以选取合适的步长。因此，IT算法具有有限的应用范围。
加速近端梯度算法
加速近端梯度算法(Accelerated Proximal Gradient, APG)的主要思想是利用了Nesterov加速，使算法能够快速收敛。
对偶方法
将原问题转化为其对偶问题(非线性、非光滑)，并使用最速上升法等可以求解。对偶方法比APG算法具有更好的可扩展性，这是因为在每次迭代过程中对偶方法不需要矩阵的完全奇异值分解。
增广拉格朗日乘子法

这些方法都非常经典，这里不再细述，总的来说，只要将问题转化为凸问题，就有一大堆方法可以用来求解。这里仅介绍一种增广拉格朗日乘子算法，即交替方向方法(Alternating direction methods, ADM)，也称为不精确拉格朗日乘子法(Inexact ALM, IALM)。
下面给出上述几种算法的比较(数据来源于网络)

2. 交替方向算法(ADM)

对于优化问题(2)，首先构造增广拉格朗日函数：

\[L({\bf{A}},{\bf{E}},{\bf{Y}},u) = {\left\| {\bf{A}} \right\|_*} + \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_{1,1}} + \left\langle {{\bf{Y}},{\bf{D}} - {\bf{A}} - {\bf{E}}} \right\rangle + \frac{u}{2}\left\| {{\bf{D}} - {\bf{A}} - {\bf{E}}} \right\|_F^2~~~(3) \]

当 \({\bf{Y}} = {{\bf{Y}}_k},u = {u_k}\) 时，使用交替方法求解块优化问题：

\[\mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}} L({\bf{A}},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k})~~~(4) \]

使用精确拉格朗日乘子法(Exact ALM, EALM)交替迭代矩阵 \(\bf A\) 和 \(\bf E\)，直到满足终止条件为止。若 \({\bf{E}} = {\bf{E}}_{k + 1}^j\)，则

\[\begin{array}{l} {\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{A}} L({\bf{A}},{\bf{E}}_{k + 1}^j,{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{A}} {\left\| {\bf{A}} \right\|_*} + \frac{{{u_k}}}{2}\left\| {{\bf{A}} - ({\bf{D}} - {\bf{E}}_{k + 1}^j + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}})} \right\|_F^2 \\ = {D_{\frac{1}{{{u_k}}}}}({\bf D} - {\bf{E}}_{k + 1}^j + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~(5)\]

再根据 \({\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1}\) 更新矩阵 \(\bf E\)：

\[\begin{array}{l} {\bf{E}}_{k + 1}^{j + 1} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{E}} L({\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{E}} \lambda {\left\| {\bf{E}} \right\|_{1,1}} + \frac{{{u_k}}}{2}\left\| {{\bf{E}} - ({\bf{D}} - {\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}})} \right\|_F^2 \\ = {S_{\frac{\lambda }{{{u_k}}}}}({\bf D} - {\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~(6)\]

记 \({\bf{A}}_{k + 1}^{\rm{*}}\) 和 \({\bf{E}}_{k + 1}^{\rm{*}}\) 分别为 \({\bf{A}}_{k + 1}^{j + 1}\) 和 \({\bf{E}}_{k + 1}^{j + 1}\) 的精确值，则矩阵 \(\bf Y\) 的更新公式为：

\[{{\bf{Y}}_{k{\rm{ + }}1}}{\rm{ = }}{{\bf{Y}}_k}{\rm{ + }}{u_k}({\bf{D}} - {\bf{A}}_{k + 1}^{\rm{*}} - {\bf{E}}_{k + 1}^{\rm{*}})~~~(7) \]

参数 \({u_k}\) 可以更新如下：

\[{u_{k + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {u_k}~~~\frac{{{u_k}{{\left\| {{\bf{E}}_{k + 1}^{\rm{*}}{\rm{ - }}{\bf{E}}_k^{\rm{*}}} \right\|}_F}}}{{{{\left\| {\bf{D}} \right\|}_F}}} < \varepsilon } \\ {{u_k}~~~~~~~~otherwise} \\ \end{array}} \right.~~~~(8)\]

其中 \(\rho>1\) 为常数，\(\varepsilon>0\) 为一个小的正数。

上述精确ALM方法在内循环中要多次更新，进行多次奇异值分解，为此文献[1]提出了非精确拉格朗日乘子法(Inecact ALM, IALM)，它不需要在每次外循环开始之前要求 \(\mathop {\min }\limits_{{\bf{A}},{\bf{E}}} L({\bf{A}},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k})\) 的精确解，也就是去掉了ALM方法的内循环，其更新公式变成了如下形式：

\[\begin{array}{l} {{\bf{A}}_{k + 1}} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{A}} L({\bf{A}},{{\bf{E}}_{k + 1}},{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ ~~~~~~~~~= {D_{\frac{1}{{{u_k}}}}}({\bf{D}} - {{\bf{E}}_{k + 1}} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~(9)\]

\[\begin{array}{l} {{\bf{E}}_{k + 1}} = \arg \mathop {\min }\limits_{\bf{E}} L({{\bf{A}}_{k + 1}},{\bf{E}},{{\bf{Y}}_k},{u_k}) \\ {~~~~~~~~~=S_{\frac{\lambda }{{{u_k}}}}}({\bf{D}} - {{\bf{A}}_{k + 1}} + \frac{{{{\bf{Y}}_k}}}{{{u_k}}}) \\ \end{array}~~~~(10)\]

上面式子中的奇异值阈值算子 \({D_{\frac{1}{{{u_k}}}}}( \cdot )\) 和软阈值算子 \({S_{\frac{\lambda }{{{u_k}}}}}( \cdot )\) 的定义参见上一期<低秩矩阵填充|奇异值阈值算法>。

4. 低秩矩阵恢复的应用

低秩矩阵恢复技术是一个非常有研究价值和实用价值的技术，它的应用也非常广泛，比如说：

视频背景建模。
图像恢复(去光照、阴影等)
图像类别标签净化
文本主题分析
音乐词曲分离
图像矫正与去噪
图像对齐

5. 仿真

ADM算法matlab代码如下：

function [L,S] = pcp_ad(M,u,lambda,itemax,tol)
% solve PCP problem by ADM algorithm
% v1.0 2020-1-1
% function：solve the following optimization problem
%                  min  ||X||*+lambda||E||_F
%                  s.t. M = A+E

% initialize S0 and Y0 and L0
[m,n] = size(M) ;
S = zeros(m,n) ;
Y = S ;
L = S ;

% the observed matrix can contain non number
unobserved = isnan(M);
M(unobserved) = 0;

if nargin < 2
    lambda = 1 / sqrt(max(m,n));
end
if nargin < 3
    u = 10*lambda;
end
if nargin < 4
    tol = 1e-6;
end
if nargin < 5
    itemax = 1000;
end

for ii = 1:itemax
    L = sig_thre(M-S+(1/u)*Y,(1/u)) ;
    S = soft_thre(M-L+(1/u)*Y, lambda/u) ;
    Z = M-L-S ;
    Y = Y+u*Z ;
    error = norm(M-L-S,'fro')/norm(M,'fro') ;
    if (ii == 1) || (mod(ii, 10) == 0) || (error < tol)
        fprintf(1, 'iter: %04d\terr: %f\trank(L): %d\tcard(S): %d\n', ...
            ii, error, rank(L), nnz(S));
    end
    if error<tol
        break;
    end
end

数值测试代码：



% solve PCP problem by alternating direction method
clear
clc

m = 100 ;
n = 100 ;
r = 0.05*n ;
rate = 0.05 ;
% Generating a low rank matrix
LL = randn(m,r)/sqrt(m)*randn(r,n)/sqrt(n) ;
% Generating a large sparse noise matrix (Bernoulli matrix)
SS = randi([0,1],m,n) ;
SS(SS==0) = -1 ;

% sampling
ss = SS(:) ;
index = sort(randperm(m*n,ceil(rate*n*m))) ;
ss1 = zeros(m*n,1) ;
ss1(index) = ss(index) ;
SS = reshape(ss1,m,n) ;
M = LL+SS ;

lambda = 1/sqrt(max(m,n)) ;
u = 10*lambda ;

% [L,S] = pcp_ad(M,u,lambda,1000) ;
[L,S] = RobustPCA(M,lambda,u);
% [L,S] = pcp_ad(M,u,lambda,500,1e-8);
% [L,S] = adm_lrr(M);
MM = M-L-S ;

norm(M-MM,'fro')/norm(M,'fro')
norm(M-L-S,'fro')/norm(M,'fro')
norm(L-LL,'fro')/norm(LL,'fro')
norm(S-SS,'fro')/norm(SS,'fro')

function A = soft_thre(B,T) 
A = sign(B).*max(abs(B)-T,0) ;
end

function [A] = sig_thre(B,T)

[s,v,d] = svd(B,'econ') ;
%     v(v<T) = 0 ;
%     A = s*v*d' ;
A = s*soft_thre(v,T)*d' ;
end

运行上面程序，显示结果norm(M-L-S,'fro')/norm(M,'fro')约为9e-7，norm(L-LL,'fro')/norm(LL,'fro')约为1e-5。

低秩图像恢复仿真程序：

% low rank and sparse noise image recovery
clear
clc

A = imread('C:\xxx\xxx\xxx.bmp') ;

WW = double(A) ;
a1 = double(A(:,:,1)) ;
a2 = double(A(:,:,2)) ;
a3 = double(A(:,:,3)) ;
[M,N] = size(a1);
X = zeros(M,N,3);
    
for jj = 1:3
    lambda = 1*1 / sqrt(max(M,N)); 
    u =  1*lambda;
    [ X(:,:,jj),S(:,:,jj)] = RobustPCA(WW(:,:,jj),lambda,u,1e-8,200) ;
end

figure(1)
subplot(3,1,1)
imshow(A)
title("原图",'fontsize',12)
subplot(3,1,2)
imshow(uint8(X))
title("低秩图",'fontsize',12)
d = S ;
d(d<20) = 255 ;
subplot(3,1,3)
imshow(uint8(d))
title("噪声图",'fontsize',12)

低秩图像恢复结果如下：

从上面图像恢复结果来看，效果还不错。

参考文献

[1] Candès, E. J., Li, X., Ma, Y., & Wright, J. (2011). Robust principal component analysis?. Journal of the ACM (JACM), 58(3), 11.
[2] 史加荣, 郑秀云, 魏宗田, & 杨威. (2013). 低秩矩阵恢复算法综述. 计算机应用研究, 30(6), 1601-1605.
[3] Cui, X., Huang, J., Zhang, S., & Metaxas, D. N. (2012, October). Background subtraction using low rank and group sparsity constraints. In European Conference on Computer Vision (pp. 612-625). Springer, Berlin, Heidelberg.
[4] Wright, J., Ganesh, A., Rao, S., Peng, Y., & Ma, Y. (2009). Robust principal component analysis: Exact recovery of corrupted low-rank matrices via convex optimization. In Advances in neural information processing systems (pp. 2080-2088).
[5] Peng, Y., Ganesh, A., Wright, J., Xu, W., & Ma, Y. (2012). RASL: Robust alignment by sparse and low-rank decomposition for linearly correlated images. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 34(11), 2233-2246.

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