证明randomized quicksort的平均running time为nlgn 的数学过程

假设被排序数为 n 个， 找pivot的随机办法对每一个数的概率严格为 1/n .

步骤一： 建模。

假设将第 K 个数选为pivot ， 则子问题规模为  k-1 和 n-k ， 并且该分割的running time 为 Θ(n)

所以容易得到： T(n) = T(k-1) + T(n-k) + Θ(n)

步骤二：用喊有指示随机变量 X_k 来表达T(n)。

设X_k 为指示随机变量 （当第k个数被选为pivot ，则 X_k = 1 ，相反则等于0），则有：

T(n) = X₁(T(0) + T(n) + Θ(n)) + X₂(T(1) + T(n) + Θ(n)) + ...... + X_n(T(n) + T(n) + Θ(n))

= Sum( X_k( T(k-1) + T(n-k) + Θ(n) ) (k=1,2,3 ......) 

步骤三：对两边取期望并化简。

对两边取期望：

E(T(n)) = E( X₁(T(0) + T(n) + Θ(n)) + X₂(T(1) + T(n) + Θ(n)) + ...... + X_n(T(n) + T(n) + Θ(n)) )

E(T(n)) = E(Sum( X_k( T(k-1) + T(n-k) + Θ(n) )) (k=1,2,3......)

利用期望的线性属性有：

E(T(n)) = Sum(E(X_k( T(k-1) + T(n-k) + Θ(n)))

由于E(X_k) = 1/n  (随机概率的期望等于事件发生的概率) ，并且Xk 是独立的，所以

E(T(n)) = 1/n Sum(T(k-1) + T(n-k) + Θ(n))

由于Sum(T(k-1)) 和  Sum(T(n-k)) 是相等的（相当与 1 + 2 + 3 和 3 + 2 + 1）

所以

E(T(n)) = 2/n Sum(T(k))

步骤四：用代替法证明 E(T(n)) <= anlgn

由于是证明  T(n) = Θ(nlgn)

用替代法有：

E(T(n)) <= 2/n Sum(anlgn) = 2a/n Sum(nlgn)

用到一个结论： Sum(nlgn) 对于 n=2 , 3,4, .... , n-1 ， 有 Sum(nlgn) <= 1/2n²lgn - 1/8n²

所以

2a/n Sum(nlgn) for n = 0,1,2,3......n <= 2a/n Sum(nlgn) for n = 2,3,4....,n-1 <= 2a/n (1/2n²lgn - 1/8n²) = Θ(nlgn) 得证。