「学习笔记」珂朵莉树 ODT
珂朵莉树,也叫ODT(Old Driver Tree 老司机树)
从前有一天,珂朵莉出现了。。。
然后有一天,珂朵莉树出现了。。。
看看图片的地址 Codeforces可还行)
没错,珂朵莉树来自Codeforces 896C C. Willem, Chtholly and Seniorious
国外珂学家 滑稽)
前置芝士:
set的基本操作
迭代器(跟指针差不多
重载运算符、构造函数的简单了解
mutable(下面也会讲
暴力枚举
常数优化(inline O2 O3 register大法好啊
够简单了吧?除了真正的小白,大家都应该有所了解。
废话完了,扯进正题(毕竟你不是珂学家,你是个O·I·E·R)。
珂朵莉树的适用范围(缺一不可,不然复杂度就是不正确的,很容易被卡):
- 数据纯随机
- 有区间修改操作
大概就这两个吧。珂朵莉树毕竟是一种骗分算法(珂朵莉:我不服),想到正解尽量用正解。
珂朵莉树的主要思想就是用一个set来维护元素相同的区间。
这里我们以P2572 [SCOI2010]序列操作为例,讲一讲珂朵莉树。
先写个结构体。
#define Re register //卡常操作
struct node{
int l, r; mutable bool val;
node( int L, int R = -1, int v = 0 ):l(L), r(R), val(v){}//构造函数
bool operator < ( const node t )const{ return l < t.l; }//重载运算符
};
l表示左边界,r表示右边界,val表示l~r
保存的值都是val(当然,根据题目需要,val的类型可以改变)。
mutable的作用很简单。由于在set中,元素是以常量方式存储的,不能直接修改。在set中我们是按l排序的,修改val的值实际上没有关系,不会影响set中元素的顺序,把val的类型前加个mutable,就可以直接修改val,否则还要删除元素,再插入进去,降低了效率。因为珂朵莉树比较暴力,我们要尽可能优化复杂度。
- 建立你的珂朵莉树
ls = 1;
for ( Re int i = 1; i <= N; ++i ) scanf( "%d", &a[i] );
for ( Re int i = 2; i <= N; ++i ) if ( a[i] ^ a[i - 1] ) S.insert( node( ls, i - 1, a[i - 1] ) ), ls = i;
S.insert( node( ls, N, a[N] ) );
直接把连续的一段段插进去即可。
举个例子:
111001100011000
我们就会插入以下几个元素(以 l、r、val顺序
1 3 1
4 5 0
6 7 1
8 10 0
10 11 1
12 15 0
炒鸡简单对吧?
- Split
学过FHQ Treap的童鞋听到这个很熟悉对吧?其实它们作用是差不多的,但是由于FHQ Treap是以二叉查找树结构存储的,但这里的珂朵莉树直接用set存,相对来说简单得多。
Split(pos)的作用就是在某个包含pos的区间[l,r]
中,分成两个区间[l,pos - 1],[pos,r]
。实现很简单,请看代码。
inline IT Split( Re int pos ){
Re IT t(S.lower_bound(node(pos)));//找到左边界第一个大于等于它的元素
if ( t != S.end() && t->l == pos ) return t; // 如果左边界就是这个元素,不用分了,直接返回[pos,r]也就是[l,r]
t--;//前一个元素就是包含pos的区间
Re int L(t->l), R(t->r); Re bool v(t->val);//存下来把原来的信息
S.erase(t);//删了它!
S.insert( node( L, pos - 1, v ) );//插入区间[l,pos - 1]
return S.insert( node( pos, R, v ) ).first;//插入区间[pos,r]并返回[pos,r]的迭代器
}
举例子:
如果把上面那个例子中,Split(2)
t 指向[4,5](4是第一个大于等于2的)
左边界不是2,t--,指向区间[1,3]
分成两个区间[1,1][2,3]
返回[2,3]的迭代器
- Assign
这个操作用于区间修改元素。由于这个操作可以迅速减少set中元素的个数,所以这是珂朵莉树的复杂度保证。
也十分简单,就是把边界Split,中间全部删除再插入一个元素就好了。
inline void Assign( Re int l, Re int r, Re bool v ){//把l到r所有元素统统变成v
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));//Split边界 分成[...l-1] {[l...]...[..r]} [r+1...] be指向;[l...],ed指向[r+1...] 大括号中间全部要删除
S.erase( be, ed );//删去be~ed-1的所有元素,就是大括号中间的部分
S.insert(node( l, r, v ));//插入区间[l,r]
}
有一个小细节,要先执行Split(r+1),再执行Split(l)
为什么呢?
举反例——
还是拿建树那里的例子
Assign(2,2)
假设先执行Split(2)
第一个区间[1,3]变成了[1][2,3]
be指向区间[2,3]
再执行Split(3)时
[2,3]变成了[2][3]
ed指向[3]
然后如果调用了be
be原指向的区间[2,3]已经被删除了
然后RE*8+TLE*1+AC*1
没错反过来的目的就是避免Split右区间时把be指向的区间删了。
- 区间取反
暴力枚举即可(也要Split)
inline void Change( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) it->val = !(it->val);
}
- 查询1的个数
也很暴力,一个个枚举
inline int Get1( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) if ( it->val ) ans += (it->r) - (it->l) + 1;
return ans;
}
- 查询最长连续1的个数
还是暴力
inline int Get2( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0), cur(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it )
if ( it->val ) cur += (it->r) - (it->l) + 1;
else ans = max( ans, cur ), cur = 0;
ans = max( ans, cur );
return ans;
}
差不多就这些了。
骗分大法好啊!
完整代码(https://www.luogu.org/problemnew/show/P2572)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Re register
struct node{
int l, r; mutable bool val;
node( int L, int R = -1, int v = 0 ):l(L), r(R), val(v){}
bool operator < ( const node t )const{ return l < t.l; }
};
#define IT set<node>::iterator
set<node> S;
inline IT Split( Re int pos ){
Re IT t(S.lower_bound(node(pos)));
if ( t != S.end() && t->l == pos ) return t;
t--;
Re int L(t->l), R(t->r); Re bool v(t->val);
S.erase(t);
S.insert( node( L, pos - 1, v ) );
return S.insert( node( pos, R, v ) ).first;
}
inline void Assign( Re int l, Re int r, Re bool v ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));
S.erase( be, ed );
S.insert(node( l, r, v ));
}
inline void Change( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l));
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) it->val = !(it->val);
}
inline int Get1( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it ) if ( it->val ) ans += (it->r) - (it->l) + 1;
return ans;
}
inline int Get2( Re int l, Re int r ){
Re IT ed(Split(r + 1)), be(Split(l)); Re int ans(0), cur(0);
for ( Re IT it = be; it != ed; ++it )
if ( it->val ) cur += (it->r) - (it->l) + 1;
else ans = max( ans, cur ), cur = 0;
ans = max( ans, cur );
return ans;
}
int N, M, t, ls;
int a[100005];
int main(){
scanf( "%d%d", &N, &M ); ls = 1;
for ( Re int i = 1; i <= N; ++i ) scanf( "%d", &a[i] );
for ( Re int i = 2; i <= N; ++i ) if ( a[i] ^ a[i - 1] ) S.insert( node( ls, i - 1, a[i - 1] ) ), ls = i;
S.insert( node( ls, N, a[N] ) );
for ( Re int i = 1; i <= M; ++i ){
Re int op, a, b; scanf( "%d%d%d", &op, &a, &b ); a++; b++;
if ( op < 2 ) Assign( a, b, op );
if ( op == 2 ) Change( a, b );
if ( op == 3 ) printf( "%d\n", Get1( a, b ) );
if ( op == 4 ) printf( "%d\n", Get2( a, b ) );
}
return 0;
}