卡特兰数的应用

  

卡特兰数 h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

　　前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

1，

括号化

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2，

出栈次序

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3，

凸多边形三角剖分

　　求将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数。

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4，

给定节点组成二叉树

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

　　（能构成h（N）个）

5，

买票找零

在一场激烈的足球比赛开始之前，售票工作正在紧张的进行中。每张球票为50元。现有2n个人在买票。

其中n个人手持50元的钞票，另外n个人手持100元的钞票。假设开始售票的时，售票处没有零钱。

问这2n个人有多少种排队方式，不使售票处出现找不到零钱的局面？

 

不难看出，从队首开始，任何时候，只要手持100元的球迷总比手持50元的球迷少，肯定可以把钱找开。

此时，我们联想到括号的问题。50元相当于左括号，100元相当于右括号

第0个一定是左括号，假设第0个和第k个括号匹配。那么k一定是奇数。那么第1个符号到第k-1符号一定匹配。

第k+1个，到第2n-1个符号一定匹配。

假设我们设定f（2n）代表所有的合法序列的总数。

那么f（2n）=Sum（f（2i）*f（2n-2i-2）） i=0，1，........n-1;

所以最终f（2n）=1/n+1  *  C(2*n , n)