Eigen教程 - 官方文档翻译
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章节 Chapters
稠密矩阵和向量操作 Dense matrix and array manipulation
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稠密线性问题和分解Dense linear problems and decompositions
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稀疏线性代数Sparse linear algebra
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几何Geometry
空间变换Space transformations
在本页中，我们将介绍几何模块提供的处理2D和3D旋转以及投影或仿射变换的多种可能方法。
Eigen的Geometry模块提供两种不同的几何变换方法：
- 抽象变换，例如旋转（由角度和轴或四元数表示）、平移、缩放。这些转换不是用矩阵表示的，但您仍然可以在表达式中将它们与矩阵和向量混合，并根据需要将它们转换为矩阵。
- 投影或仿射变换矩阵：请参见Transform类。这些实际上是矩阵。
注意：如果您正在使用OpenGL 4x4矩阵，那么Affine3f和Affine3d就是您想要的。由于Eigen默认为列主存储，因此可以直接使用Transform::data()方法将转换矩阵传递给OpenGL。
你可以从一个抽象转换创建一个Transform对象，就像这样：
Transform t(AngleAxis(angle,axis));
或者像这样：
Transform t;
t = AngleAxis(angle,axis);
但请注意，不幸的是，由于C++的工作原理，您不能这样做：
Transform t = AngleAxis(angle,axis);
说明：在C++语言中，这需要Transform具有来自AngleAxis的非显式转换构造函数，但我们确实不想在这里允许隐式转换。
转换类型 Transformation types
| 转换类型 | 典型初始化代码 |
|---|---|
| 2D旋转 | Rotation2D<float> rot2(angle_in_radian); |
| 3D旋转(角度+轴) | AngleAxis<float> aa(angle_in_radian, Vector3f(ax,ay,az)); 轴向量必须归一化 |
| 3D旋转（四元数） | Quaternion<float> q; q = AngleAxis<float>(angle_in_radian, axis); |
| N-D 缩放 | Scaling(sx, sy);Scaling(sx, sy, sz);Scaling(s);Scaling(vecN) |
| N-D 平移 | Translation<float,2>(tx, ty);Translation<float,3>(tx, ty, tz);Translation<float,N>(s);Translation<float,N>(vecN) |
| N-D 仿射变换 | Transform<float,N,Affine> t = concatenation_of_any_transformations;Transform<float,3,Affine> t = Translation3f(p) * AngleAxisf(a,axis) * Scaling(s); |
| N-D 线性变换（纯旋转、缩放等） | Matrix<float,N> t = concatenation_of_rotations_and_scalings;Matrix<float,2> t = Rotation2Df(a) * Scaling(s);Matrix<float,3> t = AngleAxisf(a,axis) * Scaling(s); |
旋转的注释：要转换多个向量，首选的表示是旋转矩阵，而对于其他用途，四元数是首选的表示，因为它们紧凑、快速且稳定。最后，Rotation2D和AngleAxis是创建其他旋转对象的主要方便类型。
平移和缩放注释：与AngleAxis一样，这些类旨在简化线性（矩阵）和仿射（变换）变换的创建/初始化。然而，与使用效率低下的AngleAxis不同，这些类可能仍然有兴趣编写通用且高效的算法，将任何类型的转换作为输入。
上述任何转换类型都可以转换为任何其他具有相同性质的类型，或者转换为更通用的类型。以下是一些附加示例：
Rotation2Df r; r = Matrix2f(..); // assumes a pure rotation matrix
AngleAxisf aa; aa = Quaternionf(..);
AngleAxisf aa; aa = Matrix3f(..); // assumes a pure rotation matrix
Matrix2f m; m = Rotation2Df(..);
Matrix3f m; m = Quaternionf(..); Matrix3f m; m = Scaling(..);
Affine3f m; m = AngleAxis3f(..); Affine3f m; m = Scaling(..);
Affine3f m; m = Translation3f(..); Affine3f m; m = Matrix3f(..);
跨转换类型的通用API Common API across transformation types
在某种程度上，Eigen的几何模块允许您编写处理任何类型变换表示的通用算法：
- 变换的级联：
gen1 * gen2; - 对向量的变换：
vec2 = gen1 * vec1; - 获取变换的逆：
gen2 = gen1.inverse(); - 球面插值（仅限旋转2D和四元数）:
rot3 = rot1.slerp(alpha,rot2);
仿射变换 Affine transformations
泛型仿射变换由Transform类表示，该类内部是一个（Dim+1）^2矩阵。在Eigen中，我们选择不区分点和向量，这样所有点实际上都由原点的位移向量表示（p≡p−0 ). 考虑到这一点，在应用变换时，实点和矢量是可以区分的。
- 将变换应用到点上：
VectorNf p1, p2;
p2 = t * p1;
- 将变换应用在向量上
VectorNf vec1, vec2;
vec2 = t.linear() * vec1;
- 对法向量应用一般变换
VectorNf n1, n2;
MatrixNf normalMatrix = t.linear().inverse().transpose();
n2 = (normalMatrix * n1).normalized();
- 对法向量应用纯旋转变换（无缩放，无剪切）
n2 = t.linear() * n1;
- 兼容OpenGL的3D变化
glLoadMatrixf(t.data());
- 兼容OpenGL的2D变化
Affine3f aux(Affine3f::Identity());
aux.linear().topLeftCorner<2,2>() = t.linear();
aux.translation().start<2>() = t.translation();
glLoadMatrixf(aux.data());
组件访问权限
- 内部矩阵的完全读写权限
t.matrix() = matN1xN1; // N1 means N+1
matN1xN1 = t.matrix();
- 系数访问
t(i,j) = scalar; <=> t.matrix()(i,j) = scalar;
scalar = t(i,j); <=> scalar = t.matrix()(i,j);
- 平移部分
t.translation() = vecN;
vecN = t.translation();
- 线性部分
t.linear() = matNxN;
matNxN = t.linear();
- 提取出旋转矩阵
matNxN = t.rotation();
变换的创建
虽然可以创建和更新连接基本转换的转换对象，但Transform类还具有一个过程API：
| 操作 | 过程API | 等效的原生API |
|---|---|---|
| 平移 | t.translate(Vector_(tx,ty,..));t.pretranslate(Vector_(tx,ty,..)); |
t *= Translation_(tx,ty,..);t = Translation_(tx,ty,..) * t; |
| 旋转 | t.rotate(any_rotation);t.prerotate(any_rotation); |
t *= Translation_(tx,ty,..);t = any_rotation * t; |
| 缩放 | t.scale(Vector_(sx,sy,..));t.scale(s);t.prescale(Vector_(sx,sy,..));t.prescale(s); |
t *= Scaling(sx,sy,..);t *= Scaling(s);t = Scaling(sx,sy,..) * t;t = Scaling(s) * t; |
| 剪切 | t.shear(sx,sy);t.preshear(sx,sy); |
|
| 请注意，在这两个API中，任何多个转换都可以在单个表达式中串联，如以下两个等效示例所示： |
t.pretranslate(..).rotate(..).translate(..).scale(..);
t = Translation_(..) * t * RotationType(..) * Translation_(..) * Scaling(..);
欧拉角Euler angles
Euler角度可以方便地创建旋转对象。另一方面，由于存在24种不同的约定，因此使用起来相当混乱。此示例显示如何根据2-1-2约定创建旋转矩阵。
Matrix3f m;
m = AngleAxisf(angle1, Vector3f::UnitZ())
* AngleAxisf(angle2, Vector3f::UnitY())
* AngleAxisf(angle3, Vector3f::UnitZ());
Extending/Customizing Eigen
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