树:红黑树
红黑树(Red Black Tree) 是一种自平衡二叉查找树,是在计算机科学中用到的一种数据结构,典型的用途是实现关联数组。
红黑树和AVL树类似,都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡,从而获得较高的查找性能。
它虽然是复杂的,但它的最坏情况运行时间也是非常良好的,并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n 是树中元素的数目。
先看一颗典型的红黑树:
除了符合二叉查找树基本特性外,红黑树还具有下列性质:
1.每一个节点或者着成红色,或者着成黑色。
2.根是黑色的。
3.如果一个节点是红色的,那么它的子节点必须是黑色的。
4.从一个节点到一个NULL指针的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。
5.所有NULL结点称为叶子节点,且认为颜色为黑。
正是因为这些规则限制,才保证了红黑树的自平衡。红黑树从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的2倍。
当插入或删除节点的时候,红黑树的规则有可能被打破。这时候就需要做出一些调整,来继续维持我们的规则。
调整有两种方法:变色和旋转。
而旋转又分成两种形式:左旋转和右旋转。
变色:为了重新符合红黑树的规则,尝试把红色节点变为黑色,或者把黑色节点变为红色。
左旋转:逆时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的右孩子取代,而自己成为自己的左孩子。
右旋转:顺时针旋转红黑树的两个节点,使得父节点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子。
插入一个例子(对,就是插入)
经历了如下步骤:
变色 -> 左旋转 -> 变色 -> 右旋转 -> 变色
这里有几个问题:
为什么插入的节点着色为"红色",而不是黑色呢?
因为每条路径必须包含相同的黑色节点,所以插入红色意味着我们需要处理的情况越少。
当然,如果树是NULL,根据根节点为黑色的原则,我们就必须播放黑色了。
至于删除,参考插入就好了。
红黑树结构:
enum RBTColor{RED, BLACK}; template <class T> class RBTNode{ public: RBTColor color; // 颜色 T key; // 关键字(键值) RBTNode *left; // 左孩子 RBTNode *right; // 右孩子 RBTNode *parent; // 父结点 };
左转c++实现:
/* * 对红黑树的节点(x)进行左旋转 * * 左旋示意图(对节点x进行左旋): * px px * / / * x y * / \ --(左旋)--> / \ # * lx y x ry * / \ / \ * ly ry lx ly * * */ template <class T> void RBTree<T>::leftRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* x) { // 设置x的右孩子为y RBTNode<T> *y = x->right; // 将 “y的左孩子” 设为 “x的右孩子”; // 如果y的左孩子非空,将 “x” 设为 “y的左孩子的父亲” x->right = y->left; if (y->left != NULL) y->left->parent = x; // 将 “x的父亲” 设为 “y的父亲” y->parent = x->parent; if (x->parent == NULL) { root = y; // 如果 “x的父亲” 是空节点,则将y设为根节点 } else { if (x->parent->left == x) x->parent->left = y; // 如果 x是它父节点的左孩子,则将y设为“x的父节点的左孩子” else x->parent->right = y; // 如果 x是它父节点的左孩子,则将y设为“x的父节点的左孩子” } // 将 “x” 设为 “y的左孩子” y->left = x; // 将 “x的父节点” 设为 “y” x->parent = y; }
右转c++实现
/* * 对红黑树的节点(y)进行右旋转 * * 右旋示意图(对节点y进行左旋): * py py * / / * y x * / \ --(右旋)--> / \ # * x ry lx y * / \ / \ # * lx rx rx ry * */ template <class T> void RBTree<T>::rightRotate(RBTNode<T>* &root, RBTNode<T>* y) { // 设置x是当前节点的左孩子。 RBTNode<T> *x = y->left; // 将 “x的右孩子” 设为 “y的左孩子”; // 如果"x的右孩子"不为空的话,将 “y” 设为 “x的右孩子的父亲” y->left = x->right; if (x->right != NULL) x->right->parent = y; // 将 “y的父亲” 设为 “x的父亲” x->parent = y->parent; if (y->parent == NULL) { root = x; // 如果 “y的父亲” 是空节点,则将x设为根节点 } else { if (y == y->parent->right) y->parent->right = x; // 如果 y是它父节点的右孩子,则将x设为“y的父节点的右孩子” else y->parent->left = x; // (y是它父节点的左孩子) 将x设为“x的父节点的左孩子” } // 将 “y” 设为 “x的右孩子” x->right = y; // 将 “y的父节点” 设为 “x” y->parent = x; }