【题解】雅礼集训 2018 Day1 题解

计数专场？

「雅礼集训 2018 Day1」树

考虑令 \(f_{i,j}\) 表示大小为 \(i\) 的树，深度为 \(j\) 的方案数。

一般的 DP 合并过程：枚举大小为 \(a,b\) 的树，然后把 \(b\) 的根接到 \(a\) 的根下面。但是这样会算重：打个比方，以 \(1\) 为根，儿子为 \(2,3\) 的树会被算两次。

不过可以发现，原树的任意一颗子树中，编号最小的点一定为根，编号次小的一定与根相连。这样只需要接入 \(b\) 的时候钦定 \(b\) 的根是编号次小的点即可。

不取模的答案本地用 __int128_t 或者 double 打表即可。

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「雅礼集训 2018 Day1」仙人掌

考虑一个简单的 DP：令 \(f_{i,0/1}\) 表示点 \(i\) 是否被父亲的边指向时的子树方案数。这个 DP 可以用分治 NTT 优化。

现在考虑环上的情况，令 \(g_{i,0/1,0/1}\) 表示环上第 \(i\) 个点，上一个点到其是入边 / 出边，其到下一个点是入边 / 出边时前 \(i\) 个点的方案数。只需要对子树的 \(f\) 做了前缀和就可以快速转移。

最后合并给环中最上面的点即可，用分治 NTT 加速。

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被新码风整吐了。

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「雅礼集训 2018 Day1」图

以路径长度为奇数为例。

考虑前 \(i\) 个点中，有 \(w_0\) 个奇数白点，\(w_1\) 偶数白点，\(b_0\) 个奇数黑点，\(b_1\) 个偶数黑点：

• 如果当前点为白点：

  • 路径为奇数：

    \[2^{w_0+w_1}\sum_{i=0}^{b_0}[2\mid i]\sum_{j=0}^{b_1}{b_0\choose i}{b_1\choose j}=2^{w_0+w_1+b_0+b_1-1} \]

  • 路径为偶数：情况类似。

• 如果当前点为黑点：情况类似。

这样子的话可以发现，奇数路径和偶数路径的数量是相等的，正因为如此，就没必要将奇数和偶数分别记录了。接着考虑黑白点个数。容易发现上述转移式跟黑白点个数并没有关系。

最后需要注意，奇偶路径数相等，即组合数下标按照奇偶分类后和相等，对 \({n\choose m}\) 中 \(n=0\) 的情况是不成立的，在这种情况下只能从偶数转移到奇数，需要单独讨论。

判断 \(n=0\) 的情况只需要记录是否存在相应节点即可，注意路径数奇偶性还需要再开一维。时间复杂度 \(O(n)\) 。

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