CF1334 简要题解

传送门 - Educational Codeforces Round 85 (Rated for Div. 2)

题目难度尚可，手速快点大概可以阿克？（虽然不会做 G

总结：做简单题的时候心态要平稳，手速要快，不要犹豫。（做后面几题的时候才提起兴趣是不好的

A

模拟，吃了三发罚时，吐力。

B

注意到可选的是一个集合而不是一个区间。如果要凑出 \(i\) 个合法的数，最好的方法就是用前 \(i\) 大的数凑。因此排序后扫一遍即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\) 。

C

显然是选定一个怪，将这个怪打死，然后引发爆炸，收割残血。

枚举第一个被打死的怪是哪个即可，时间复杂度 \(O(n)\) 。

D

手玩一发：

• 从 \(1\) 出发，走完 \(2\) 至 \(n-1\) 后走向 \(n\)，这里的序列是 121314...1n 。这个时候与 \(1\) 相关的边基本走完了，最后剩下一条 \(n\rightarrow 1\) 的边显然是最后走的。
• 接着 \(n\rightarrow 2\) ，然后现在有 \(n-1\) 个点，仍然在最小点上开始走，这是原问题的一个子问题。按从小到大的顺序走完 \(2\) 相关的边后，走向 \(n\) ，然后 \(n\rightarrow 3\) ，变成了更小的原问题的子问题。

最优的策略就浮出水面了，最终的答案一定是 1213..1n 2324..2n 3435..3n ..n1 这样的。

然后就枚举每一段直接算即可。

E

对于 \(v|u\) 的情况，最优解一定是从 \(u\) 一直向下走到 \(v\) 。对于 \(v\not| u\) 的情况，最优解一定是先到 \(\gcd(u,v)\) 再到 \(v\) ，其实和第一种是等价的。

那么最短路是怎么形成的呢？

考虑用 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 表示 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 的次数，走一步的意义就是将 \(a_i\) 减去一。假设当前一步改变了 \(a_i\) ，下一步改变了 \(a_j\) ，考虑这两步的贡献以及交换后的贡献：

\[\left(\prod_{k\not=i}a_k+(a_i-1)\prod_{k\not=i,k\not=j}a_k\right)=\left(\prod_{k\not=i}a_k+\prod_{k\not=j}a_k-\prod_{k\not=i,k\not=j}a_k\right)=\left(\prod_{k\not=j}a_k+(a_j-1)\prod_{k\not=i,k\not=j}a_k\right) \]

发现交换两步，距离仍然是不变的。因此 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 走向 \((0,0,\cdots,0)\) 的最短路径数其实就是：

\[\frac{(\sum a_i)!}{\prod a_i!} \]

然后就做完了。时间复杂度 \(O(\sqrt{D}+d(D)q)\) ？

F

容易想到用 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 这个位置结尾的最小答案，如果 \(a_i\notin \{b_1,b_2,\cdots,b_m\}\) 的话不做定义。

发现 \(dp_i\) 的转移其实就是找 \(b\) 序列中 \(a_i\) 的上一个数出现的位置。不妨以 \(a_i\) 为下标开桶维护贡献。定义 \(sum_j\) 表示 \(\min\limits_{k\leq i,a_k=j}dp_k+calc(k+1,i)\) ，然后转移显然就有：\(dp_i=sum_{las(a_i)}\) ，其中 \(las(i)\) 表示数字 \(i\) 在 \(b\) 序列中的上一个数的值。

现在更新了位置 \(i\)，考虑如何维护 \(sum\) ：

• 对于 \(b_k<a_i\) ：那么必须选，\(sum_k=sum_k+p_i\) 。
• 对于 \(b_k\geq a_i\) ：可选可不选，\(sum_k=\max(sum_k,sum_k+p_i)\) 。
• 对于 \(b_k=a_i\) ：考虑上述情况后，还需要对 \(dp_i\) 取 \(\min\) 。

用线段树简单维护就好。时间复杂度 \(O(n\log n)\) 。

G

卷积匹配，学到了。

考虑 \(s_i\) 和 \(t_j\) 匹配的条件是 \((s_i-t_j)(p_{s_i}-t_j)=0\) ，如果要整个串都匹配的话注意要平方一下再加起来，不然容易出问题，即 \(\sum(s_i-t_j)^2(p_{s_i}-t_j)^2=0\) 意味着匹配成功。

将 \(s\) 翻转后可以发现这是个卷积，然后卷一下就没了。

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不过有许多细节。

首先，\(\sum (s_i-t_j)^2(p_{s_i}-t_j)^2\) 可能大于模数，然后这样就变成了一个相当危险的单模哈希。处理方法有二：

• 拿两个模数各跑一遍，相当于双模哈希。
• 给每个字符赋上一个随机值。

第二种显然好写一些，然后就写了第二种（

然后，如果是用 \((s_i-t_j)^2(p_{s_i}-t_j)^2\) 来卷的话，拆开是九个式子，两个可以前缀和处理，剩下的只能 \(\rm{NTT}\) ，这样就要做 \(7\) 次 \(\rm{NTT}\) ，本地极限数据要跑 \(1.4s\) 。

不知道怎么搞，然后就学 EA 的做法信仰一波卷 \((s_i-t_j)(p_{s_i}-t_j)\)，随机种子瞎打了一个交上去过了（/qiang（不过后面连着调了好几个种子都过不去 /dk