【学习笔记】Prufer 序列

树的 Prufer 序列

Prufer 序列可以将一棵 $n$ 个点的无根树用一个长度为 $n-2$ 的序列表示，且序列中的每个数都是 $[1,n]$ 之间的整数，它的作用在于可以将树与数列建立一个一一对应的双射关系，帮助解决一些有关树的组合计数问题。

对于一棵 $n$ 个结点的树，其 Prufer 序列的构建过程如下：

• 选择当前编号最小的叶结点，将其删除，并把它的父亲加入到序列末尾。
• 重复以上过程 $n-2$ 轮，直到最后剩下两个结点时停止。

用小根堆模拟上述过程即可做到 $O(n\log n)$ 建立 Prufer 序列，当然也存在线性构建方法，但并没有什么用。

Prufer 序列的应用

因为 Prufer 序列与树之间是双射关系，因此可以用来对树计数。

无向完全图生成树个数（Cayley 公式）#

设该完全图有 $n$ 个结点，则其生成树个数为 $n^{n-2}$。

证明显然，因为每棵生成树都对应一个 Prufer 序列，等价于问长度为 $n-2$ 的 Prufer 序列有几种，而 Prufer 序列每个位置都能填 $[1,n]$ 之间的任意整数。

同时这个问题还有个等价描述：$n$ 个点的无根树个数。事实上改成有根树答案只是变成了 $n\times n^{n-2}=n^{n-1}$，因为每棵无根树的 $n$ 个点都能成为根。

给定度数的树个数#

不妨假设边都是无向的，如果给定了 $n$ 个点的度数 ${\mathrm{deg}}_1,{\mathrm{deg}}_2,{\mathrm{deg}}_3,\dots ,{\mathrm{deg}}_n$，那么满足要求的树的个数为：

$$\frac{(n-2)!}{\prod _{i=1}^n({\mathrm{deg}}_i-1)!}$$

证明同样是简单的，观察 Prufer 序列的构建过程可以得到一个性质：每个点在 Prufer 序列中一定恰好出现了 ${\mathrm{deg}}_i-1$ 次，因此给定度数时 Prufer 序列的数字组成已经固定了，共有 $(n-2)!$ 种排列方式，但是每个点都有 $({\mathrm{deg}}_i-1)!$ 种重复排列的方式，所以再除去即可。

广义 Cayley 公式#

发现这个许多文章并没有记录，但是它是真的有用。

$n$ 个结点形成的有 $k$ 棵树的森林，要求给定的 $k$ 个点中不存在两个点在同一棵树内的方案数为 $k\times n^{n-k-1}$。

证明暂时先咕了。

图联通问题（Cayley 公式再扩展）#

有一个 $n$ 个点和若干条边的无向图，共有 $k$ 个连通块，大小分别为 $s_1,s_2,\dots ,s_k$，现在要加 $k-1$ 条边使得整个图联通，则方案数为 $n^{k-2}\prod _{i=1}^k{s}_i$。

证明不会，似乎可以用 Matrix-Tree 或多元二项式定理证。