算法导论（一）：渐进记号

算法导论（一）：渐进记号

算法中，常用极限情况度量一个函数的好坏，因此引入了渐进函数的概念。在渐进函数中，有以下五种渐进记号：Ο、Θ、Ω、ο、ω。

　　假设有函数f(n)与函数g(n)，如果令函数f(n)为实数a，函数g(n)为实数b，则有以下类比：

　　f(n)=Ο(g(n))　　类似于　　a≤b

　　f(n)=Ω(g(n))　　类似于　　a≥b

　　f(n)=Θ(g(n))　　类似于　　a=b

　　f(n)=ο(g(n))　　类似于　　a<b

　　f(n)=ω(g(n))　　类似于　　a>b

 

Ο记号

　　Ο记号表示渐进上界，即存在正常数c与n₀，使得当n≥n₀时，有0≤f(n)≤cg(n)。则认为f(n)=Ο(g(n))。（读作：大Ο(g(n))）

Θ记号

　　Θ记号表示渐进准确界，即存在正常数c₁，c₂与n₀，使得当n≥n₀时，有0≤c₁g(n)≤f(n)≤c₂g(n)。则认为f(n)=Θ(g(n))。（读作：Θ(g(n))）

Ω记号

　　Ω记号表示渐进下界，即存在正常数c与n₀，使得当n≥n₀时，有0≤cg(n)≤f(n)。则认为f(n)=Ω(g(n))。（读作：大Ω(g(n))）

ο记号

　　ο记号表示非渐进上界，即存在正常数n₀，对任意的常数c>0，使得当n≥n₀时，有0≤f(n)<cg(n)。则认为f(n)=ο(g(n))。（读作：小ο(g(n))）

直观上可以理解，当n趋近无穷时，有lim_n→∞(f(n)/g(n))=0 

ω记号

　　ω记号表示非渐进下界，即存在正常数n₀，对任意的常数c>0，使得当n≥n₀时，有0≤cg(n)<f(n)。则认为f(n)=ω(g(n))。（读作：小ω(g(n))）

直观上可以理解，当n趋近无穷时，有lim_n→∞(f(n)/g(n))=∞ 

函数的特性：

传递性：

　　f(n)=Ο(g(n))且g(n)=Ο(h(n))→f(n)=Ο(h(n))

　　f(n)=Ω(g(n))且g(n)=Ω(h(n))→f(n)=Ω(h(n))

　　f(n)=Θ(g(n))且g(n)=Θ(h(n))→f(n)=Θ(h(n))

　　f(n)=ο(g(n))且g(n)=ο(h(n))→f(n)=ο(h(n))

　　f(n)=ω(g(n))且g(n)=ω(h(n))→f(n)=ω(h(n))

 

自反向：

　　f(n)=Ο(f(n))　　

　　f(n)=Θ(f(n))　　

　　f(n)=Ω(f(n))

对称性：

　　f(n)=Θ(g(n))　　当且仅当　　g(n)=Θ(f(n))

　　f(n)=Ο(g(n))　　当且仅当　　g(n)=Ω(f(n))

　　f(n)=ο(g(n))　　当且仅当　　g(n)=ω(f(n))