猜数游戏

来源：牛客网2017年校招全国统一模拟笔试(第五场)编程题集合
本文是转载博客，原博客：[编程题] 猜数游戏

题目：
牛牛和羊羊在玩一个有趣的猜数游戏。在这个游戏中,牛牛玩家选择一个正整数,羊羊根据已给的提示猜这个数字。第i个提示是”Y”或者”N”,表示牛牛选择的数是否是i的倍数。例如,如果提示是”YYNYY”,它表示这个数使1,2,4,5的倍数,但不是3的倍数。注意到一些提示会出现错误。例如: 提示”NYYY”是错误的,因为所有的整数都是1的倍数,所以起始元素肯定不会是”N”。此外,例如”YNNY”的提示也是错误的,因为结果不可能是4的倍数但不是2的倍数。现在给出一个整数n,表示已给的提示的长度。请计算出长度为n的合法的提示的个数。例如 n = 5:合法的提示有:YNNNN YNNNY YNYNN YNYNY YYNNN YYNNYYYNYN YYNYY YYYNN YYYNY YYYYN YYYYY所以输出12 输入描述:
输入包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10^6),表示已给提示的长度。
输出描述:
输出一个整数,表示合法的提示个数。因为答案可能会很大,所以输出对于1000000007的模
输入例子1:
5
输出例子1:
12

分析

这道题比较难。

首先运用动态规划的思想

首先我们分析，dp[i]表示前i个数的合法个数
当第i个数是素数的时候，前面除了1都没有能除尽的，所以这个位置可以随便选Y或N,也就是2种情况，所以dp[i] = dp[i-1]*2.
当第i个数不是素数的幂次，比如6，10这种数，那么他们的情况实际上是被前面的数所决定的，不用对他们进行考虑了，比如对6来说，6=2*3，所以6的状态是由2和3决定的，如果2，3为YY，那么6必然是Y，其他情况6必须是N，所以dp[i] = dp[i-1].
当第i个数是素数的幂次的时候，也就是2，4，8，16这种数，这时候情况就复杂了。
假设现在有2，4，8，那么有多少种情况呢，我们仔细分析也能找出规律 YYY,YNN,NNN,YYN就这四种情况，
对于2，4 YN,YY,NN三种情况我们发现实际上也是有规律的，首先都能或者都不能两种，然后就是从左到右添加Y：YNN,YYN。
所以对于这种情况，我们得出规律，如果有n个幂次，就有n+1中可行的情况。

分析完之后，我们就可以得出计算方法，对于12：
2，4，8这三个数是幂次，有4中可能
3，9 这两个数幂次，有三种可能
5，7，11，分别是两种可能
其他的数都由其他数决定
所以最后结果就是4*3*2*2*2=96种

所以我们思考一下，最后就变成了找素数和素数幂次的个数了。

代码：

import java.util.*;
public class Main {
    //MAX就是根据输入的n所创建的数组大小
    final static int MAX = (int) (1e6+5);
    final static int MOD = (int) (1E9+7);
    static boolean[] visited = new boolean[MAX];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        in.close();
        System.out.println(helper(n));
    }

    private static long helper(int n) {
        //最终的输出值
        long ans = 1;
        //1的位置肯定是Y，固定的。所以从2开始计算
        for(int i=2;i<=n;i++) {
            //保存i的幂的次数
            int count = 0;
            //当visited[i]是true的时候，说明它是前面某个数的倍数，那他的值也就不由他决定了，没有必要继续往下走了，
            if(visited[i])
                continue;
            //将i的倍数的位置全部设定为true，以后经过这个位置就跳过继续循环
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i) {
                visited[j] = true;
            }
            long mi = i;
            //计算i的幂的次数，值要小于等于n
            while(mi <= n) {
                count++;
                mi = mi*i;
            }
            //计算有多少和合法的组合
            ans = ans * (count+1) % MOD;
        }
        return ans;
    }
}