math---数学拾遗

拾起我曾经掌握不牢固的地方

以加快我的计算速度

一、取对数是否变号 (不变号)

\(1/3\) < \(1/2\)
\(ln(1/3) < ln(1/2)\)

二、重要极限公式二巧妙记法

\[\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=1 \]

\[\lim\limits_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e \]

\[\lim\limits_{x\to0}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=1 \]

这里提供一个好用的记忆方法，直接看 \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+???\right)^{\frac{1}{x}}=1\)

当 \(???\) 趋于0时(不管是\(\frac{1}{x}\)还是x),重要极限不等式2的值都为e

当\(???\) 趋于∞时 (不管是\(\frac{1}{x}\)还是x),重要极限不等式2的值都为1

三、间断点的记忆

按优先级:
1、只要左/右趋于无穷就是无穷间断点
2、只要左!=右就是跳跃间断点
3、只要左==右 并且左或右不等于 中 ，则为可取间断点
如果f(x)在A点左极限等于B点右极限，并且A点不存在，也满足歌可去间断点的概念

四、微分方程什么时候加绝对值

五、初等变换老是出错？

我所指的初等变换是这样的：

而我在做题的时候却总是差强人意

这是使用初等矩阵的性质的做法

这是不使用初等矩阵的性质的做法

总结一下，就是初等矩阵的性质只适用于同向，也就是说，\(A*E_{1,2}(k)^T == A*E_{2,1}(k)\)而$(A*E_{1,2}(K))^T !=E_{2,1}(K) * A^T $

六、数列收敛的充要条件

主要的充分条件应该有以下3条

1、数列收敛的基本定义

设{Xn}为一已知数列，A是一个常数。如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数 N=N(ε)，使得当 n>N 时，有 |Xn -A| < ε ，则称数列{Xn}当n趋于无穷时以A为极限，或称数列{Xn}收敛于A

ps: 简直就是极限存在的定理

2、夹逼定理

如果有三个数列{Pn}{Xn}{Qn}。且当n足够大以后，满足条件Pn≤Xn≤Qn。如果当n趋于无穷时，{Pn}和{Qn}都收敛于A，那么数列{Xn}也收敛于A。

3、单调有界原理

任何单调（单调递增或递减）且有界的数列都收敛。

4、柯西收敛准则

设有一数列{Xn}，该数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>n>N时就有|Xn-Xm|<ε

七、复合函数的单调性判断

总结就是同增异减

举个例子

\[f(x) = ln((x-1)(x-2)(x-3))\\ g(x) = (x-1)(x-2)(x-3) \]

图形如下:

八、向量组等价的含义

向量组等价：若向量组A与向量组B能相互线性表示则称这两个向量组等价.若两向量组等价，则这两个向
组的秩相等，但反之不一定成立

比如向量组A与向量组B等价:

说明存在X,Y使

\[AX=B => r(A)=r(A,B) \\ BY=A => r(B)=r(A,B) \\ \]

即 r(A)=r(B)=r(A,B)