math---数学拾遗

拾起我曾经掌握不牢固的地方

以加快我的计算速度

一、取对数是否变号 (不变号)

1/3 < 1/2
ln(1/3)<ln(1/2)

二、重要极限公式二巧妙记法

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limx(1+x)1x=1

limx0(1+x)1x=e

limx0(1+1x)x=1

这里提供一个好用的记忆方法,直接看 limx(1+???)1x=1

??? 趋于0时(不管是1x还是x),重要极限不等式2的值都为e

??? 趋于∞时 (不管是1x还是x),重要极限不等式2的值都为1

三、间断点的记忆

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按优先级:
1、只要左/右趋于无穷就是无穷间断点
2、只要左!=右就是跳跃间断点
3、只要左==右 并且左或右不等于 中 ,则为可取间断点
如果f(x)在A点左极限等于B点右极限,并且A点不存在,也满足歌可去间断点的概念

四、微分方程什么时候加绝对值

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五、初等变换老是出错?

我所指的初等变换是这样的:

image-20231007152312776

而我在做题的时候却总是差强人意

image-20231007152346581

这是使用初等矩阵的性质的做法

image-20231007153136096

这是不使用初等矩阵的性质的做法

image-20231007153153817

总结一下,就是初等矩阵的性质只适用于同向,也就是说,AE1,2(k)T==AE2,1(k)(AE1,2(K))T!=E2,1(K)AT

六、数列收敛的充要条件

主要的充分条件应该有以下3条

1、数列收敛的基本定义

设{Xn}为一已知数列,A是一个常数。如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数 N=N(ε),使得当 n>N 时,有 |Xn -A| < ε ,则称数列{Xn}当n趋于无穷时以A为极限,或称数列{Xn}收敛于A

ps: 简直就是极限存在的定理

2、夹逼定理

如果有三个数列{Pn}{Xn}{Qn}。且当n足够大以后,满足条件Pn≤Xn≤Qn。如果当n趋于无穷时,{Pn}和{Qn}都收敛于A,那么数列{Xn}也收敛于A。

3、单调有界原理

任何单调(单调递增或递减)且有界的数列都收敛。

4、柯西收敛准则

设有一数列{Xn},该数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在着这样的正整数N,使得当m>n>N时就有|Xn-Xm|<ε

七、复合函数的单调性判断

image-20231014093139307

总结就是同增异减

举个例子

f(x)=ln((x1)(x2)(x3))g(x)=(x1)(x2)(x3)

图形如下:

image-20231014093320106

image-20231014093328472

八、向量组等价的含义

向量组等价:若向量组A与向量组B能相互线性表示则称这两个向量组等价.若两向量组等价,则这两个向
组的秩相等,但反之不一定成立

比如向量组A与向量组B等价:

说明存在X,Y使

AX=B=>r(A)=r(A,B)BY=A=>r(B)=r(A,B)

即 r(A)=r(B)=r(A,B)


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