math---多维随机变量函数的求法(截至目前已知的方法) 以及 卷积公式原理

前言： 感觉这里的知识有点小乱，遂浅浅整理一下

零、卷积公式法原理

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卷积公式法的原理其实就是分布函数法+暴力求导公式

首先介绍暴力求导公式:

1)、常规的，列出求Z的分布函数公式: p(Z<=z) = p(X+Y<=z)

之后，我们把

 看作g(z,x)，下面就是对g(z,x)做从负无穷到正无穷的定积分

2)、直接使用暴力求导公式

暴力求导公式中的后两项由于g(z,x)的上下限为常数(正无穷，负无穷也算常数吧)，则其导数值为0

暴力求导公式的第一项

 需要对 g(z,x)求关于z的偏导，则求完偏导后，该项变为:

 

整理可得:

 

 

一、(连续型，连续型) =>连续型

常规的做法有:

1、分布函数法

分布函数法经常会遇到事件不独立的情况，我们一般的采取措施是

1)、换元出公共变量，划分图像

2)、直接带到图像里去

　　

 

 

这道题的第二问就是构造出 x<=z，y<=z的情况，然后根据图像进行积分

2、卷积公式法

卷积公式法有时候也会遇到限制:

比如这道题，如果我们替换x，则会出现z的范围不好确定的情况

但如果替换y的话，就可以顺利解出

总之，还是适用分布函数法比较好，毕竟卷积公式也是起源于分布函数法 

 

3、非常规方法---全概率公式法(适用范围较窄)

 

化为全概论公式后，用积分的方式来合并所有项

 

二、(离散，连续) => 连续

这种一般使用全概率公式就能解，面对一些不独立的题目则需要带入图像或换元出公共变量来进行积分求解

 

三、剩下两种都很简单，无需多言

 

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本文作者：_TLSN
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