math---多元函数积分方法整理

复习到了这里，解题方法有点多，脑子有点乱，遂整理一下

一、常规的三重积分解法

1、先一后二法: 用x,y表示z

2、先二后一法: 用z表示x,y

3、球形积分

4、常用技巧

对称性、轮换对称、换元法(补行列式)，其中球形积分就是用到了换元的思想:

二、第一型曲线积分

第一型曲线积分主要解决平面 or 空间曲线问题

1、平面曲线做法: 一投二代三计算 投到坐标轴上

2、空间曲线做法: 一投二代三计算 投到坐标面上

三、第二型曲线积分

第二型曲线积分主要解决平面曲线问题 or 空间曲线问题

1、平面曲线积分常规做法: 一投二代三计算化为定积分

2、平面曲线积分之格林公式:

这里注意积分与路径无关所引出的六个等价命题:

3、平面曲线积分之结合两类曲线积分

这里的两类是 把第二类曲线积分: \(\int dx + dy\) 化为第一类曲线积分: \(\int ds\)
然后再用第一类曲线积分的性质来解问题：

转化思想如下： 由于 \(dx = ds · cosθ\)，我们只需要根据ds与dx求出cosθ的值即可

4、空间曲线积分常规做法: 一投二代三计算 化三维曲线为二维曲线

5、空间曲线积分之斯托克斯公式:

斯托克斯公式有点类似于旋度

6、小技巧:旋度 rot = 0 可以换路径积分

四、第一型曲面积分

空间曲面做法: 一投二代三计算 投影到坐标面上 化空间曲面为平面

五、第二型曲面积分

1、常规做法: 一投二代三计算并结合转换投影法(换面积分)

① 单独的一投二代三计算:

好像就是普通的二重积分
② 结合转换投影法的一投二代三计算

简直是天才!!!

2、高斯公式

3、结合两类曲面积分

与结合两类曲线积分的做法如出一辙
只需想办法求出cos\(θ\) 、 cos \(α\) 、 cos\(β\) 即可完成转化
\(dx·dy = cosθ·ds\)