高数---定义法求二阶偏导小感悟

我们使用定义法求以下偏导
1、我们用定义法对(x0,y0)点求关于x的偏导得到的结果是作用于(x0,y0)的领域内，一般可以得到一个具体值
2、如果我们把x当作一个常量，而对(x,y0)关于x求偏导，得到的是一个关于x的表达式，它作用于y=y0的这一条直线，含义是f(x,y)沿着y=y0这条直线的所有关于x的偏导数值.通俗来讲,相当于是: 对x进行求导后,带入y=y0
$f^{'}_x(x,y_0)$

3、如果我们把y当作一个常量，而对(x0,y)关于x求偏导，得到的是一个关于y的表达式，它作用于x=x0这一条直线，含义是f(x,y)沿着x=x0这条直线的所有关于x的偏导数值,通俗来讲,相当于是: 对x进行求导后,带入x=x0
$f^{'}_x(x_0,y)$

4、如果我们把x当作一个常量，而对(x,y0)关于y求偏导，得到的是一个关于x的表达式，它作用于y=y0这一条直线，含义是f(x,y)沿着y=y0这条直线的所有关于y的偏导数值,通俗来讲,相当于是: 对y进行求导后,带入y=y0
$f^{'}_y(x,y_0)$

5、如果我们把y当作一个常量，而对(x0,y)关于y求偏导，得到的是一个关于y的表达式，它作用于x=x0这一条直线，含义是f(x,y)沿着x=x0这条直线的所有关于y的偏导数值,通俗来讲,相当于是: 对y进行求导后,带入x=x0
$f^{'}_y(y,y_0)$
6、如果我们f(x,y)关于x求导得到的是一个一个关于x,y的表达式，他作用于x,y的定义域中，含义是这个领域的所有关于x的偏导数值
7、如果我们f(x,y)关于y求导得到的是一个一个关于x,y的表达式，他作用于x,y的定义域中，含义是这个领域的所有关于y的偏导数值

2_1、而如果我们对2中的结果再次在$(x,y_0)$上关于x求偏导，实际上得到的值相当于:
$f_{xx}^{''}(x,y_0)$
结果任然是一个关于x的式子,不过含义变成了f(x,y)沿着y=y0这条直线的所有关于x的二次偏导数值

2_2、而如果我们对2中的结果在$(x_0,y_0)$上关于x求偏导，实际上得到的值相当于:
$f_{xx}^{''}(x_0,y_0)$
这相当于在 y=y0上的某点进行关于x的二次求导,并带入x0点

2_3、而如果我们对2中的结果再次在$(x,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的值为0
相当于 对f(x,y)沿着y=y0这条直线的所有关于x偏导数再对y求一次偏导，而偏导数值关于y的项全是常数，故结果为0，毫无意义

2_4、而如果我们对2中的结果再次在$(x_0,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的值为0
相当于 在2_3中关于x的偏导数值里取一点(x0,y0)对y求导,最后结果为0,毫无意义

3_1、而如果我们对3中的结果再次在$(x_0,y)$上关于x求偏导，实际上得到的值为0,
相当于对 f(x,y)沿着x=x0这条直线的所有关于x的偏导数值再求一次导,而偏导数值关于x的项全是常数,所以最后结果一定为0,毫无意义

3_2、而如果我们对3中的结果在$(x_0,y_0)$上关于x求偏导，实际上得到的值为0,
相当于 在3_1中关于x的偏导数值里取一点求导,最后结果为0,毫无意义

3_3、而如果我们对3中的结果在$(x_0,y)$上关于y求偏导，实际上得到的式子相当于：
$f_{xy}^{''}(x_0,y)$
结果任然是一个关于y的式子，不过含义变成了f(x,y)沿着 x=x0这条直线的所有关于x的偏导再对y求偏导

3_4、而如果我们对3中的结果在$(x_0,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的式子相当于：
$f_{xy}^{''}(x_0,y_0)$
结果是一个具体值，含义是在x=x0直线上的一点(x0,y0)关于x,y的偏导

4_1、而如果我们对4中的结果再次在$(x,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的值为0,
相当于对 f(x,y)沿着y=y0这条直线的所有关于x的偏导数值再求一次导,而偏导数值关于y的项全是常数,所以最后结果一定为0,毫无意义

4_2、而如果我们对4中的结果在$(x_0,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的值为0,
相当于 在4_1中关于y的偏导数值里取一点求导,最后结果为0,毫无意义

4_3、而如果我们对4中的结果在$(x,y_0)$上关于x求偏导，实际上得到的式子相当于：
$f_{yx}^{''}(x,y_0)$
结果任然是一个关于x的式子，不过含义变成了f(x,y)沿着 y=y0这条直线的所有关于y的偏导再对x求偏导

4_4、而如果我们对4中的结果在$(x_0,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的式子相当于：
$f_{yx}^{''}(x_0,y_0)$
结果是一个具体值，含义是在y=y0直线上的一点(x0,y0)关于y,x的偏导

5_1、而如果我们对5中的结果再次在$(x_0,y)$上关于y求偏导，实际上得到的值相当于:
$f_{yy}^{''}(x_0,y)$
结果任然是一个关于y的式子,不过含义变成了f(x,y)沿着x=x0这条直线的所有关于y的二次偏导数值

5_2、而如果我们对5中的结果在$(x_0,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的值相当于:
$f_{yy}^{''}(x_0,y_0)$
这相当于在 x=x0上的某点进行关于y的二次求导,并带入y0点

5_3、而如果我们对5中的结果在$(x_0,y)$上关于x求偏导，实际上得到的值为0
相当于 对f(x,y)沿着x=x0这条直线的所有关于y偏导数再对x求一次偏导，而偏导数值关于x的项全是常数，故结果为0，毫无意义

5_4、而如果我们对2中的结果再次在$(x_0,y_0)$上关于y求偏导，实际上得到的值为0
相当于 在5_3中关于y的偏导数值里取一点(x0,y0)对x求导,最后结果为0,毫无意义

ps: 结合偏导数的定义感觉定义法求一阶偏导相较于公式法求一阶偏导的优势就在于可以求求一条定义域不存在的直线的极限
但考研一般考察的都是一个定义域不存在的点的极限，故相比于一阶导数略显鸡肋

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本文作者：_TLSN
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