RSA基础知识

一、基础知识

https://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
欧拉函数、逆元、互质关系

二、RSA原理实现

1、随机选择两个不相等的质数p和q

2、计算p和q的乘积n

$$n=p*q$$

3、计算n的欧拉函数φ(n)

$$φ(n) = (p-1)(q-1)$$

4、随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质

5、计算e对于φ(n)的模反元素d

$$ed ≡ 1 (mod φ(n))$$

这个式子等价于

$$ed - 1 = kφ(n)$$

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

$$ex + φ(n)y = 1$$

这就是扩展偶欧几里得了

6、将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥

三、证明

$m^e ≡ c(mod n) =>c^d ≡ m (mod n)$
证明方法如下:
1、$ｍ^e ≡ c (mod n)$可以变换为:

$$c = m^e - kn$$

2、将其带入到 ｍ^e ≡ c (mod n)得:

$$(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)$$

3、证明这个式子等同于证明:

$$m^{e\cdot d} ≡ m (mod n)$$

4、因为$ed ≡ 1 (mod φ(n))$ , 所以:

$$ed = hφ(n)+1$$

5、将 ed代入:

$$m^{hφ(n)+1} ≡ m (mod n)$$

下面分类讨论当m与n互不互质的情况:

6、m与n互质
由欧拉定理得到 $m^φ(n) ≡ 1 (mod n)$，进而可以得到:

$$(m^{φ(n))h} × m ≡ m (mod n)$$

原式即证

7、m与n不互质
(1)、由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq (因为m、n不是互质关系，说明m、n必定含有非1公因子，而n等于质数p和q的乘积，因此m必然等于kp或kq)
以 m = kp为例,这时kp与q互质，由欧拉定理得$(kp)^{q-1} ≡ 1 (mod q)$，带入上面的式中得到:

$$[(kp)^{q-1}]^{h(p-1)} × kp ≡ kp (mod q)$$

(2)、由 $φ(n)=(p-1)(q-1)$ 得到:

$$(kp)^{ed} ≡ kp (mod q)$$

(3)、可以将其改写成下面的等式:

$$(kp)^{ed} = tq + kp$$

(4)、这时t必然能被p整除 $(\quad(kp)^{ed} = tq + kp => tq = (kp)(kp^{ed-1} - 1)$ 因为p,q是互质,p是tq的因数,所以kp必然不能整除q,那么就必然整除t,故t必然能被p整除 )，即 t=t'p

$$(kp)^{ed} = t'pq + kp$$

(5)、因为 m=kp，n=pq，所以可得：

$$m^{ed} ≡ m (mod n)$$

证毕

参考:
https://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html

四、常用的RSA大整数分解工具:

1、在线网站

http://www.factordb.com/

2、yafu

yafu "factor(@)" -batchfile n.txt
n.txt内容最后面一定要加回车

__EOF__

本文作者：_TLSN
本文链接：https://www.cnblogs.com/lordtianqiyi/articles/17065652.html
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