DDA, Bresenham line's algorithm and Voxel Traversal used in the Grid-Accelerator in PBRT

 

 

- DDA(Digital Differential Analyzer, 数值微分法) - 

 

计算机图形学中，经常会遇到一些计算机中”经典“的问题。例如，如何利用计算机”离散“的特质，模拟现实中”连续“的概念？关于这个问题的一个具体应用，就是如何利用计算机”画直线“的问题。我们知道在纯粹抽象的数学中，一条直线用y=mx+b就可以表达（其中m是斜率）；但如果要画在计算机屏幕上，就没那么容易：因为计算机屏幕是由许多分散的像素格子组成的，你需要决定在什么时候换行或者换列。这种模拟的本质，还是”插值“问题。直线是最简单的情况，往复杂点说，就会有考虑如何插值三角形甚至多边形的情况。不过它们都是”直线“插值的复杂应用，下面就不多说了。

 

DDA是一种处理此种问题的经典算法。算法思想倒也不难：

 

【准备阶段】

 

1） 给定一条线段的起点(x1, y1)和终点(x2, y2)，分别计算在两轴上的差值 △y = y2 - y1 和 △x = x1 - x2。

 

2） 比较△y和△x二者谁比较大，大的那一个就作为遍历的总步数。steps = max(△x, △y)。

 

3） 分别计算在x和y方向上单步的步距。 dx = △x/steps，dy = △y/steps。注意此时dx和dy必然一个等于1，一个介于0-1之间（浮点数）

 

【遍历阶段】

4）△x和△y谁大，谁就作为插值的主序方向。意味着每次插值都是朝这个方向行进一步。比如△x大，那么假设当前在格子(xi, yi)处，决定下一个格子时，由于在x方向是主序方向，所以朝x方向行进一步得到xi+1。剩下的就是决定y方向上到底是yi呢还是yi+1呢。

 

5）到底是yi还是yi+1，要看根据y = m(xi+1) + b计算出真实的y等于多少。这时的y计算出来的是浮点数，根据float2Int的一些规则，转换成对应的整形然后找到对应的格子。float2Int的转换规则要看具体情况，四舍五入还是直接截取，看效果吧。

 

6）重复4)-5)步

 

DDA算法直接了当，简单易懂。不过它的计算过程中涉及到许多浮点数运算，这在当今的CPU设计架构中运算成本较大，也可视为其运算复杂度较高。下面的Bresenham line's algorithm就是对其的一种改进。

 

 

- Bresenham line's algorithm - 

Bresenham line's algorithm 是DDA的一种改进算法。它与DDA相比有质量和效率的两点改进：

1）质量方面的改进。 比如还是以△x为主序方向行进时，决定下一个点是落在yi还是yi+1，不仅仅考虑真实计算出来的y等于多少，还要考虑这个y值是离yi更近还是离yi+1更近。谁近就画在谁的格子里。这一点显然比DDA中思考问题的方式更加make sense。

2）效率方面的改进。根据上一点的判断准则，再加上一系列的递归推导，最后简化到只存在整形的加减运算以及比较操作。这在当今CPU的架构中运算成本相对来说非常便宜，因此效率更高。具体的推导细节，参见这篇 DERIVATION OF THE BRESENHAM’S LINE ALGORITHM

 

  

- Voxel Traversal used in the Grid-Accelerator in PBRT -

我正在看pbrt的第4章。这章主要讲了有关场景管理组织的一些技术，目的是为了提高射线相交测试（ray intersection tests）的效率。主要的手段有三种，Grid-Based, BVH 和 KD-Tree。目前正看到第一种，Grid-Based，基于网格的场景管理技术 。

基于网格的场景管理方法，相当于把整个场景看作是一个大的bouding box，然后对这个box所在的空间分别在三个维度上划分成一格一格的。然后将场景中的primitives与各个发生overlap的格子”关联“起来。接着，从射线的方位出发，遍历(traverse)这个网格系统，对于与射线发生相交的格子，再在里面遍历与之关联的所有primitives，对遍历到的每个primitive都做一次相交测试。当然这当中的细节还有很多，就不赘述了。总之这种算法的思想可以描述为”分而治之“。通过每个格子的空间管理与之有关的primitives，测试某个格子的时候就不必考虑其他格子里的primitives，从而可以有效降解其遍历场景的复杂度。

这里，我想强调下射线是如何遍历这个网格系统的。其方法也是DDA算法的一种改进，书中说非常像Bresenham line's algorithm。但我仔细观察了一下，和Bresenham的算法还是不一样的。这里的关键是利用的是射线的参数(parametric)方程，那个参数t（作为沿着射线方向偏离起点的距离）是很重要的。当决定下一点究竟是朝x方向，y方向还是z方向步进时，要看这条射线”最先打到哪个方向的下一格子的边界“。哪个方向的边界先被打到，就朝哪个方向步进一次。这样一来，这种算法就不是依靠决定”哪个方向是主序“的思路进行的了，每次判断步进时三个方向皆有可能步进。这点与经典的DDA（包括Bresenham）算法都非常不同。

我知道我没说清楚，刚才在网上粗略找了找，发现这篇应该才是pbrt中使用的算法：A Fast Voxel Traversal Algorithm for Ray Tracing。（我没细看，大体觉得差不了）。欢迎指正校对勘误拍砖头，谢谢。