子空间的基本概念

线性子空间 --简称子空间（子空间是非空子集）----对加法和数乘封闭

证明给定空间上是线性空间----给定一个加法，给定一个数乘，验证两个运算满足8条运算

线性子空间保持原空间的加法和数乘

• 平凡的子空间----零子空间+全子空间
• 引理：子空间维数，若是非平凡子空间，严格不等号
• 基扩张定理----子空间的维数
• 引入子空间的为什么----------将原空间的直和分解
• 子空间的交与子空间的和（不是并）
• 有限个子空间的交空间依然是子空间
• 有限个子空间的和空间依然是和空间

 

有非空间张成的一个子空间、子群、

没有线性结构的子集张成有线性结构的子空间

 

• 子空间的并集不一定是子空间，有并集张成的子空间是子空间的和空间
• 空间的相等，相互包含的即可
• 和空间与交空间维数的关系  dim(v2+v1)=dim(v1)+dim(v2)-dim(v1∩v2)

 

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子空间的最重要的分解：线性子空间的直和

子空间的研究是和不是并

1. 如何定义直和：
2. 两两相交为零并不能判定为直和

 

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给定直和的4条判定定理

1. 直和：定义
2. 任意一个空间和前面的子空间的和为空
3. 维数公式
4. 小空间的基拼接成全空间的一组
5. 分块表示唯一