字符串一些算法总结

最近在补字符串
运用极不详尽，以后慢慢补

1|0KMP

1|0算法讲解

我们要求的就是字符串a的每一个前缀的最长公共前后缀,设为s数组(也叫前缀函数)
例：
aaabbaaa
s:0,1,1,0,0,1,2,3
首先有一个显然的暴力，这个复杂度是$O(n^2)$，有时候很快
考虑快速维护，假设我们求出了$s_1--s_{i-1}$,考虑$s_i$
首先，$s_i<=s_{i-1}+1$,如果可以加更多，那么i-1也必定可以增长，所以是不符合定义的
然后分类讨论，如果能直接匹配就匹配，为$s_{i-1}+1$
然后，我们暴力从前面跳，考虑这样一个情形：
$a[1,x]=a[i-x,i-1]$,即$s_{i-1}=x$
我们发现不能匹配，就想能否在$x$以前找到一个能匹配的，设$s_x=y$,那么由定义，可得$a[1,y]=a[x-y+1,x]=a[i-x,i-x+y-1]=a[i-y,i-1]$,而且是满足条件的最大的y，然后看能否匹配
由于s每次最多增大1，而只有减小操作，所以时间复杂度为$O(n)$

1|0运用

求一个串t在另一个串s中的出现的所有位置
设字符串$p=t+x+s$,x为一个没有在t和s中出现的任意字符，+表示拼接，然后跑kmp，如果最长公共前后缀长度等于t的长度当前位置就合法

2|0Z函数（扩展kmp）

1|0算法讲解

我们由一个字符串a，对于每一个位置i，求出$lcp(a[1--n],a[i--n])$，设为z数组（z函数）
我们假设前面的z的最大右端点为r，对应的i为l
如果当前的i不在这个区间里，就暴力扩展然后更新l，r
如果在，根据lcp的性质，$z[i]>=min(z[i-l],r-i+1)$
为什么呢？首先，z在前面的区间内对应的位置是i-l，这个好理解，然后看z[i-l]的值
但这里会遇到一个情况，$i+z[i-l]-1>r$,那么就没有保证了
我们就从$r-i+1$往后扩展，一直到不合法，然后更新l,r
这样就是正确的
那么时间复杂度呢？由于内层扩展时r每次都会增加，而r不会减小，所以时间复杂度为$O(n)$
其实感觉过程更像manacher

1|0运用

上面的kmp的也可以用z函数做

3|0manacher

1|0算法讲解

我们考虑解决求一个字符串中的所有回文串
看上去没有线性解法
但是，以一个位置为中心，往两边扩展，必定能找到一个长度，使得长度以前的是回文，以后一定不是
那么，我们只要求出这个长度即可，设为数组h
而回文串有空位为中心的和位置为中心的，我们直接在位置之间插入一个特殊字符（即不是字符集里的），代表空位
显然，有hash的带$\log$做法，但有更快的
设我们已经求出了前面的所以h，r为最大的h+i，l为r对应的i
我们类似z函数，如果当前位置在这个区间外，就暴力扩展
否则，就可以在区间里找到一个对称的点，然后继承那个点的h，如果超过了区间，就从右端点开始暴力扩展，像z函数一样，如果不清楚看一下z函数
而时间复杂度的分析甚至也是一样的，由于内层的循环一定会带来r的增加，所以总时间复杂度为$O(n)$

1|0运用

求上面的问题

4|0PAM（回文自动机）

1|0算法讲解

我们想，可不可以把回文表示成自动机的形式，于是就有了PAM
像正常的自动机一样，PAM有两部分：自动机和树，具体来说，有$son[]$数组表示在当前点表示的字符串中增加一个i字符在原串中有回文的代表的节点，fail表示当前的节点的最长回文后缀
区别于manacher，由于结构好，我们可以直接搞两个跟，表示长度为奇数/偶数的根
我们考虑增量构造法，设把$i-1$的都构造好了，设以i-1为结尾的最长回文串，然后像kmp一样向前面跳然后看能否匹配，设能匹配的点为las，复杂度也如kmp，然后就能得出以当前位置为结尾的最长回文子串，新建一个节点p来表示,las的对应儿子设为p
然后我们还要求p的fail，就再次从$fail[las]$开始匹配，就可以求出，然后把failp赋值即可
偶根的fail指向奇根，奇根不会失配，所以不重要
而只用加一个点的原因是如果最长的回文串被框出来了，那么次小的在前面也会有对应的串，已经被增加过，就可以不用重复添加

1|0运用

可以解决本质不同回文串的个数问题，而manacher是无法判重的

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本文作者：longzhaocheng
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