算法 - 求二进制数中1的个数

转自 ： https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/06/21/1752421.html

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一些简单的方法就不转了，转最后两个

平行算法

int BitCount4(unsigned int n) 
{ 
    n = (n &0x55555555) + ((n >>1) &0x55555555) ; 
    n = (n &0x33333333) + ((n >>2) &0x33333333) ; 
    n = (n &0x0f0f0f0f) + ((n >>4) &0x0f0f0f0f) ; 
    n = (n &0x00ff00ff) + ((n >>8) &0x00ff00ff) ; 
    n = (n &0x0000ffff) + ((n >>16) &0x0000ffff) ; 

    return n ; 
}

算法原理：

先将n写成二进制形式，然后相邻位相加，重复这个过程，直到只剩下一位。

以217（11011001）为例，有图有真相，下面的图足以说明一切了。217的二进制表示中有5个1

 

图中第一行，是数据 217的 二进制表现形式

图中第二行，是先按两两分组，然后再相加，即  

n = (n &0x55555555) + ((n >>1) &0x55555555)

其中第二个与操作，是为了清除移位操作时，高位分组侵入到低位分组的数据：

1 1 0 1 1 0 0 1

   1 1 0 1 1 0 0 1 

---------------------------------

 10   01   01   01

黄色部分被 "与" 操作清除，剩余部分相加，

然后继续分组，4 bit 一组 :

n = (n &0x33333333) + ((n >>2) &0x33333333) ;

 10   01   01   01

　　 10   01   01   01

----------------------------------

    0011       0010

最后，8 bit 一组：

n = (n &0x0f0f0f0f) + ((n >>4) &0x0f0f0f0f) ;

0011       0010

　　　　0011       0010

-----------------------------------

               0101

 

即最后结果，

此例为8 bit， 如果是 16 bit 或则 32 bit，则继续执行 一到两次分组即可。

 

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完美法

int BitCount5(unsigned int n)
{
    unsigned int tmp = n - ((n >>1) &033333333333) - ((n >>2) &011111111111);
    return ((tmp + (tmp >>3)) &030707070707) %63;
}

这是 8进制计算， 其中 十进制数63换算为8进制是 077，这里我准备分析十六进制的原理，8进制和十六进制是一样的。

#define BITCOUNT(x) (((BX_(x)+(BX_(x)>>4)) & 0x0F0F0F0F) % 255)
#define BX_(x) ((x) - (((x)>>1)&0x77777777) - (((x)>>2)&0x33333333) - (((x)>>3)&0x11111111))

32位的十六进制数，按4 bit 一组进行分组，对任意的 4bit 数 x， 都可以写成如下形式：

x = 2^3 * a + 2^2 * b + 2^1 * c + d

其中 a，b, c, d取值 0或者 1 ，也就是典型的8421 十六进制表达。于是 a+b+c+d的值，就是当前分组的1的个数。

展开来就是：

x = 8a + 4b + 2c + d

十六进制的右移操作，也可以理解为除 2 操作，

而 与操作，则是清除移位时，高位分组的低位 侵入到 低位分组的高位 数据

ex : 1010 1100 >> 1 = x101 0110

红色数据是侵入数据，可以通过 与操作清除

 

将 BX_(x) 展开，就是：

　　(8a+4b+2c+d) - (8a+4b+2c+d) /2 - (8a+4b+2c+d) /4 - (8a+4b+2c+d) /8

= 　(8a+4b+2c+d) - (4a+2b+c) - (2a+b) - (a)

=　a+b+c+d

可见，结果就是求出了各个分组的1的个数。

 

下一步操作就是累加每个分组中 1的个数，与平行算法类似，错位相加，得到8bit中1的个数，由于与操作，所以结果的形式如下：

BITCOUNT(x) = 0x0a0b0c0d

余除 255后，就是1的累加值，怎么来的？

 

先把值展开 ：

     d + c * 256 + b * 256^2 + a * 256 ^3 

=  d + c* (255+1) + b * (255+1)^2 + a * (255+1)^3

对每一项余除 255，

 d % 255 = d

c * (255+1) % 255 = c * 255 %255 + c %255 = 0 + c

另外， X *（255+1）^n 根据数学原理，展开后，除最后一项是1外，其他的项都是 255的倍数，255倍数余除 255，结果为0， 所以只会保留 X %255，也就是 X的值。

所以，[ d + c* (255+1) + b * (255+1)^2 + a * (255+1)^3  ] %255 = d + c + b + a， 也就是累加了每一组中 1的个数。