提高笔记

整型溢出：信息学竞赛的发展，繁荣与衰退 
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  二分图最小点覆盖包含的点数等于二分图最大匹配包含的边数。
证明：
  因为最大匹配是原二分图边集的一个子集，并且所有的边都不相交，所以需要从每条匹配边中选出一个端点。因此，最小点覆盖包含的点数不可能小于最大匹配包含的边数。如果能对任意二分图构造出一组点覆盖，其包含的点数等于最大匹配包含的边数那么定理就能得证。
构造方法：
求出二分图最大匹配
  从左部每个非匹配点出发，再执行一次DFS寻找增广路的过程（一定会失败），标记访问过的节点
取左部未被标记的点、右部被标记的点，就得到了二分图的最小点覆盖
下面证明该构造的正确性。经过上述构造方法后：
左部非匹配点一定都被标记－－因为它们是出发点
右部非匹配点一定都没被标记－－否则就找到了增广路
  一对匹配点要么都被标记，要么都没被标记－－因为在寻找增广路的过程中，左部匹配点只能通过右部到达。
  在构造中，我们取了左部未被标记的点，右部被标记的点。根据上面的讨论可以发现，恰好是每条匹配边取了一个点，所以选出的点数等于最大匹配包含的边数。
再来讨论这种取法是否覆盖了所有的边：
匹配边一定被覆盖－－因为恰好有一个端点被取走
不存在连接两个非匹配点的边－－否则就有长度为1的增广路了
  连接左部非匹配点i，右部匹配点j的边－－因为i是出发点，所以j一定被访问。而我们取了右部所有被标记的点，因此这样的边也被覆盖。
  连接左部匹配点i，右部非匹配点j的边－－i一定没有被访问，否则再走到j就找到了增广路。而我们取了左部所有未被标记的点，因此这样的边也被覆盖。 
 

 

我们可以用sum数组表示序列S的前缀和,那么会得到以下性质.
s[l~r]有偶数个1,等价于sum[l-1]与sum[r]奇偶性相同 (1+0=1 0+0=0,1是奇数,0是偶数)
s[l~r]有奇数个1,等价于sum[l-1]与sum[r]奇偶性不同 (1+1=0 0+1=0,1是奇数,0是偶数)
以下是传递关系细目表
如果说x1和x2奇偶性质相同,x2与x3奇偶性质相同,那么x1和x3也相同
如果说x1和x2奇偶性质相同,x2与x3奇偶性质不同,那么x1和x3也不同
如果说x1和x2奇偶性质不同,x2与x3奇偶性质不同,那么x1和x3就相同