二分之一网打尽

分治算法
　　所谓分治就是指分而治之，即将较大规模的问题分解成几个较小规模的问题，通过对较小规模问题的求解达到对整个问题的求解。当我们将问题分解成两个较小问题求解时的分治方法称之为二分。
　　你们玩过猜数字的游戏吗？你的朋友心里想一个 1000 以内的正整数，你可以给出一个数字 x ，你朋友只要回答“比 x 大”或者“比 x 小”或者“猜中”，你能保证在 10 次以内猜中吗？运气好只要一次就猜中。

　　开始猜测是 1 到 1000 之间，你可以先猜 500，运气好可以一次猜中，如果答案比500大，显然答案不可能在1到500之间，下一次猜测的区间变为501到1000，如果答案比500小，那答案不可能在500到1000之间，下一次猜测的区间变为1到499.只要每次都猜测区间的中间点，这样就可以把猜测区间缩小一半。由于 1000 / 210 < 1，因此不超过 10 次询问区间就可以缩小为1，答案就会猜中了，这就是二分的基本思想。

　　每一次使得可选的范围缩小一半，最终使得范围缩小为一个数，从而得出答案。假设问的范围是 1 到 n ，根据 n / 2x <= 1得 x >= logn，所以我们只需要问O(logn)次就能知道答案了。

　　需要注意的是使用二分法有一个重要的前提，就是有序性，下面通过几个例子来体会二分法的应用。
1、给定一个长度为 n 的单调递增的序列，即序列中每一个数都比前一个数大。有 m 次询问，每次询问一个 x ，问序列中最后一个小于等于 x 的数是什么？

输入：第一行两个整数n, m.

接下来一行 n 个数，表示这个序列。

接下来m行每行一个数，表示一个询问。

输出：

输出共 m 行，表示序列中最后一个小于等于 x 的数是什么。假如没有，则输出 -1.

样例输入：

5 3

1 2 3 4 6

5

1

3

样例输出：

4

1

3

 

代码实现1：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1001;
int n, m, a[N];

int divide(int x)
{
    int l = 0, r = n - 1;
    while(l <= r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(a[mid] <= x) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    
    return a[r];//这里不能用a[l]，a[l]是第一个大于x数
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    while(m --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        cout << divide(x) << endl;
    }
}

具体的缩小过程：

5 3
1 2 3 4 6
5
l: 4 mid: 3 r : 6
l: 6 mid: 4 r : 6
l: 6 mid: 6 r : 4
4
1
l: 1 mid: 3 r : 2
l: 2 mid: 1 r : 2
l: 2 mid: 2 r : 1
1
3
l: 4 mid: 3 r : 6
l: 4 mid: 4 r : 3
3

Process returned 0 (0x0) execution time : 1.875 s
Press any key to continue.

 

二分这里下面这种也可以：

while(l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(a[mid] <= x) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    
    return a[l]; //a[l]和a[r]都可以

　　这个调试过程如下：

5 3
1 2 3 4 6
5
l: 3 mid: 3 r : 6
l: 4 mid: 4 r : 6
l: 4 mid: 6 r : 4
4
1
l: 1 mid: 3 r : 2
l: 1 mid: 2 r : 1
1
3
l: 3 mid: 3 r : 6
l: 3 mid: 4 r : 3
3

Process returned 0 (0x0) execution time : 2.031 s
Press any key to continue.

 还可以直接用STL中upper_bound（大于）、lower_bound（大于等于），从小到大排好序的数组，得到第一个大于x的数，第一个大于等于x的数。

int pos = upper_bound(a, a + n, x) - a;

从大到小排好序的数组里面，upper_bound、lower_bound返回第一个小于等于 x 的数组，第一个小于 x 的数组。

int pos = upper_bound(a, a + n, x, greater<int>()) - a;

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1001;
int n, m, a[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    reverse(a, a + n);

    while(m --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        int ans = lower_bound(a, a + n, x, greater<int>()) - a;

        cout << a[ans] << endl;
    }
}

5 3
1 2 3 4 6
5
4
1
1
3
3

Process returned 0 (0x0) execution time : 2.312 s
Press any key to continue.