高斯消元解线性方程组

Gauss

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const double eps = 1e-6;
const int N =110;

int n;
double a[N][N];
void out()
{
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = 0;j <= n; j++)
            printf("%10.2lf ",a[i][j]);
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;
}
int gauss()
{
    int c, r;//c表示列，r表示行
    for(c = 0, r = 0; c < n; c++)
    {
        int t = r;
        for(int i = r; i < n; i++)
            if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i;//找到当前列绝对值最大的行
        
        if(fabs(a[t][c]) < eps) continue;
        
        for(int i = c; i <= n; i++) swap(a[t][i], a[r][i]);
        for(int i = n; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c];//把该行第一个数的系数变成1
        for(int i = r + 1; i < n; i++) 
            if(fabs(a[i][c]) > eps)
                for(int j = n; j >= c; j--)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
        out();
        r++;
    }
    if(r < n)
    {
        for(int i = r; i < n; i++)
            if(fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2;//无解 一个未知数，两个方程 后面的a[i][n]应该全都是0的，如果不是0，矛盾。
        return 1;//无数个解 <n个方程 n个未知数（就如两个未知数，一个方程）
    }
    
    
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
            
    
    return 0;
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        for(int j = 0;j < n + 1;j++)
            cin>>a[i][j];
    
    int t = gauss();
    
    if(t == 0)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
    }
    else if(t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else puts("No solution");
}
            

输入的是系数：

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出的过程变量：1.00 0.50 -1.50 -4.50       0.00 1.50 0.50 -1.50       0.00 -0.50 0.50 2.50 

      1.00       0.50      -1.50      -4.50 
      0.00       1.00       0.33      -1.00 
      0.00       0.00       0.67       2.00 

      1.00       0.50      -1.50      -4.50 
      0.00       1.00       0.33      -1.00 
      0.00       0.00       1.00       3.00 

-4.50
-1.00
3.00
矩阵初等行列变换的三定律：
1）把某一行乘一个非0的数。
2）交换某两行
3）把某行的若干倍加到另一行上面去。（目的是另一行消去变成0）
高斯消元的步骤：
1）枚举每一列column，找到当前绝对值最大的那一行。
2）把这行换到上面去。
3）将下面所有行的当前列column消成0。

最后变成的应该是一个上三角。
消去的这个步骤要对矩阵二维数组有着较为敏锐的观察：

for(int i = r + 1; i < n; i++) 
            if(fabs(a[i][c]) > eps)
                for(int j = n; j >= c; j--)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
比如这里代表的是：消去除r行外的后面其他所有行的当前列c为0.表示的是后面的所有数a[i][j]都减去本行第一个数a[i][c]（因为第r行的c列数已经被置为1了）乘以上一行比较行a[r][j]的每一列的数字。

for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
而这里得到的结果是每个式子的最后一个，即右边的值：a[i][n]，因为左边全都只剩一个了代表各自未知数的结果。每个都是依据下一个直到最后一个式子来消元，打到左边只剩一个数字1右边的值即为结果的目的。
a[n-1][n]即为最后一个式子未知数的解。倒数第二个未知数的值：a[n-2][n] = a[n-2][n] - a[n-2][n-1] * a[n-1][n]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a[i][n]  = a[i][n] - a[i][j] * a[j][n](i: n-1 -> 0, j: i + 1 ->> n - 1)（因为下一行a[j][j]已经是为1了，就是减去本行的a[i][j] * a[j][n]下一行右边的解得值）

 高斯消元解异或方程组：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
int n, a[N][N];
int gauss()
{
    int r, c;
    for(r = c = 0; c < n; c++)
    {
        int t = r;
        for(int i = r; i < n;i++)
            if(a[i][c]) {
                t = i;
                break;
            }
        if(!a[t][c]) continue;//如果找一圈都没有找到非0的就跳到下一列
        
        for(int i = c; i <= n;i++) swap(a[t][i], a[r][i]);//交换
        
        //用当前这一行的c列，把下面所有行的这列消成0
        for(int i = r + 1;i < n;i++)
            if(a[i][c])//已经是0的不需要消0
                for(int j = c;j <= n; j++)
                    a[i][j] ^= a[r][j];//普通高斯消元是：a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
        r++;
    }
    
    if(r < n)
    {
        for(int i = r; i < n;i++)
            if(a[i][n])//说的是如果r没有到达n的话,到了n - 2然后变为n-1就结束了，那么最后一行它就没有消因为都是0，假如还剩最后一行n-1没消，r = n - 1,但是如果右边a[n-1][n]有值，但左边为0，矛盾
                return 2;//无解
        return 1;//无穷多组解
    }
    
    for(int i = n - 1;i >= 0;i--)
        for(int j = i + 1;j < n;j++)
            a[i][n] ^= a[i][j] & a[j][n];//普通高斯消元结果是：a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        for(int j = 0;j < n + 1;j++)
            cin>>a[i][j];

    int res = gauss();
    if(res == 0)
    {
        for(int i = 0;i<n;i++) cout<<a[i][n]<<endl;
    }
    else if(res == 1) cout<<"Multiple sets of solutions"<<endl;
    else cout<<"No solution"<<endl;
    
}

 异或高斯校园的过程如下：

输出

         1         1         0         1
         0         1         1         0
         0         1         0         0

         1         1         0         1
         0         1         1         0
         0         0         1         0

         1         1         0         1
         0         1         1         0
         0         0         1         0

1
0
0

 也可以用我自己的方法，这里：

if(a[i][j]){
a[i][n] ^= a[j][n];
// a[i][n] ^= a[i][j] & a[j][n];//根据模拟的结果确实是要&, 普通高斯消元结果是：a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
}

如果a[i][j] = 1, 那么就用异或 a[i][n] ^= a[j][n]