CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法
By Long Luo
任何一款科学计算器上都可以计算三角函数，三角函数应用于生活工作中的方方面面，但计算机是如何计算三角函数值的呢？
三角函数本质上是直角三角形的3条边的比例关系，计算并没有很直观，那么计算机是如何计算三角函数值的呢？
在微积分中我们学习过 泰勒公式 ，我们知道可以使用泰勒展开式来对某个值求得其近似值，例如：
利用泰勒公式，取前 \(4\) 项：
代入可得：
可见取前 \(4\) 项时精度已经在 \(10^{-5}\) 之下，对于很多场合精度已经足够高了。
在没有了解 CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) Algorithm [1] 算法之前，我一直以为计算器是利用泰勒公式去求解，最近才了解到原来在计算机中，CORDIC 算法远比泰勒公式高效。
下面我们就来了解下泰勒公式的不足之处和 CORDIC 算法是怎么做的。
泰勒公式的缺点
上一节我们使用泰勒公式去计算三角函数值时，需要做很多次乘法运算，而计算器中乘法运算是很昂贵的，其缺点如下所示：
- 展开过小则会导致展开精度不够，展开过大则会导致计算量过大；
- 幂运算需要使用乘法器，存在很多重复计算；
- 需要很多变量来存储中间值。
在之前的文章 矩阵乘法的 Strassen 算法 ，就是通过减少乘法，多做加法，从而大大降低了运算量，那么我们可以用相同的思想来优化运算吗？
当然可以，让我们请出今天的主角：CORDIC 算法。
解析 CORDIC 算法
我们知道单位圆上一点 \(P\) ，其坐标为：\((\cos \theta , \sin \theta )\) ，如下图所示：
如果我们接收一个旋转向量 \(M_{in}\) 逆时针旋转 \(\theta\) ，将点 \(P(x_{in} , y_{in})\) 旋转到 \(P'(x_{R} , y_{R})\) , 如下图所示：
很容易得到如下公式：
实际上由 复数运算 ，我们知道复数乘法就是幅角相加，模长相乘。我们可以将上式写成下列矩阵运算形式：
但上式运算时，只是对向量 \(v_{in} = {\begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}}\) 进行了线性变换，乘以一个旋转向量 \(M_{in}\) ，得到了旋转后的结果：向量 \(v_{R} = {\begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix}}\) 。
但是上式仍然需要 \(4\) 次乘法和 \(2\) 次加减法操作， 复杂度没有任何降低，那怎么办呢？
当当...当！
通过上述分析，我们已经知道可以使用有限次旋转操作来避免复杂的乘法操作，我们修改矩阵运算公式，提取 \(\cos (\theta )\) ，则公式可以修改为：
如果我们选择合适的角度值 \(\theta_i\)，使得
这样和 \(\tan (\theta_{i})\) 乘法操作就变成了移位操作，我们知道计算机中移位操作是非常快的，就可以大大加快计算速度了。
但这里仍然有 \(3\) 个问题需要解决：
- 对于任意角度 ，可以通过满足条件的角度累加来得到在数学上相同的结果吗？
- 每次旋转得到的结果仍然需要乘以 \(\cos(\theta )\) ，这部分的计算成本如何？如何计算？
- 因为每次旋转角度 \(\theta = \arctan(2^{-i})\) ，朝着目标角度进行旋转时，可能会出现没有超过目标角度的情况，也会存在超过目标角度的情况，这种情况如何解决呢？
对于第一个问题，答案是否定的。可以从数学上证明只有 \(\angle 45^{\circ}\) 的倍数角才可以得到完全一致的结果。但是在工程应用中，我们只需要满足一定精度即可，可以增加迭代次数无限逼近原始角度，如下所示提高 \(n\) 值以无限逼近原始角度。
对于第二个问题，我们先来个例子，以 \(57.535^{\circ}\) 为例来看看求解过程：
那么第一次旋转：
第二次旋转：
第三次旋转：
综合可得：
因为 \(\tan (\theta_{i}) = 2^{-i}\) ，由三角公式可以计算出：
令 \(K_i = \cos(\theta_{i})\) ，则当进行 \(n\) 次迭代之后：
当 \(\theta_{i}\) 越来越小时， \(\cos \theta\) 也越来越逼近 \(1\) ，当迭代次数 \(n \to \infty\) ， \(K(n)\) 极限存在，求解可得：
由 \(K\) 我们实际上可以得到最终的向量 \(v_R\) 的模长极限为：
实际上当迭代次数为 \(6\) 时，可以计算出缩放比例 \(K\) ，就已经精确到 \(0.6072\) 了，如下所示：
实际上，任意角度只要迭代次数超过 \(6\) ，我们可以直接使用 \(K = 0.6072\) 这个值。
对于第三个问题，稍微有点复杂，我们在下一节继续讲解！
角度累加
上一节遗留的问题是迭代旋转角度时，旋转角度不一定会落在目标角度内，我们需要引入一个角度误差，用来衡量旋转角度和目标角之间距离，如下所示：
当 \(\theta_{error} > 0\) 时，我们应该逆时针旋转，而 \(\theta_{error} < 0\) ，则顺时针旋转。根据精度需要，当 \(\left | \theta_{error} \right | \le \epsilon\) 即可退出迭代。
同时我们修改之前的公式，引入 \(\sigma_{i} \in \left \{ +1, -1 \right \}\) ，于是可以得到最终公式：
举个例子
上面讲了这么多，来个实例吧，练习巩固下知识，看看自己是否真的懂了？
计算 \(\sin 70^{\circ}\) 和 \(\cos 70^{\circ}\) 的值。
从 \(x_{in}=1, y_{in} = 0\) 开始，迭代 \(6\) 次结果如下：
| 第 \(i\) 次迭代 | \(\sigma_{i}\) | \(x \left[ i \right ]\) | \(y \left[ i \right ]\) | \(z \left[ i \right ]\) |
|---|---|---|---|---|
| - | - | \(1\) | \(0\) | \(70^{\circ}\) |
| \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(25^{\circ}\) |
| \(1\) | \(1\) | \(0.5\) | \(1.5\) | \(-1.5651^{\circ}\) |
| \(2\) | \(-1\) | \(0.875\) | \(1.375\) | \(12.4711^{\circ}\) |
| \(3\) | \(1\) | \(0.7031\) | \(1.4844\) | \(5.3461^{\circ}\) |
| \(4\) | \(1\) | \(0.6103\) | \(1.5283\) | \(1.7698^{\circ}\) |
| \(5\) | \(1\) | \(0.5625\) | \(1.5474\) | \(-0.0201^{\circ}\) |
| \(6\) | \(-1\) | \(0.5867\) | \(1.5386\) | \(0.8751^{\circ}\) |
迭代到第 \(6\) 次时，角度误差已经小于 \(1^{\circ}\) 了， 通过表格可知：
通过计算器可知，\(\cos(70^{\circ}) = 0.34202\) ，\(\sin(70^{\circ}) = 0.93969\) ，误差已经在 \(\frac {1}{100}\) 之下了，实际应用中我们会迭代 \(16\) 次，误差会非常小。
在线 CORDIC 算法Demo
通过上面分析，我们已经知道了 CORDIC 算法的原理，下面就开始编程吧！
用 JavaScript 写了一个在线互动版本，传送门 → ：
- 可以调整不同迭代次数，和系统库函数 \(\textit{Math.cos}\) ，\(\textit{Math.sin}\) 进行比较：
- 可以查看每次迭代的结果，掌握 Cordic 算法迭代原理：
CORDIC 算法的优点
CORDIC 算法相比其他算法的优点，体现在以下几个方面：
- 简化运算：CORDIC 算法主要使用位移、加法和减法等简单的运算，避免了复杂的乘法操作，从而提高了计算速度；
- 并行计算：CORDIC 算法的迭代操作是相互独立的，可以进行并行计算，利用现代计算机的多核优势，进一步提升计算效率；
- 硬件优化：CORDIC 算法适用于硬件实现，可以通过专用硬件电路（如FPGA）进行加速，极大地提高计算速度；
- 低存储需求：CORDIC 算法只需存储一小组预先计算好的旋转角度，节省了存储空间；
- 迭代控制：通过控制迭代次数，可以平衡计算精度和计算速度，根据需求进行调整。
总结
CORDIC 算法是一种高效计算三角函数值的方法。相比传统的泰勒展开式，它具有简单高效、低存储需求和迭代控制等优势。在需要计算三角函数值的应用中，CORDIC 算法更快速、更节省资源。
