题解 luogu P2568 GCD

题解 luogu P2568 GCD

时间：2019.3.11

欧拉函数+前缀和

题目描述

给定整数\(N\)，求\(1\le x,y \le N\)且\(\gcd(x,y)\)为素数的数对\((x,y)\)有多少对.

分析

枚举素数\(p\), 先求出\(1\le x,y \le \left \lfloor \dfrac n p \right \rfloor\)且\(\gcd(x, y) = 1\)的数对\((x,y)\)有多少对，然后再将\(x,y\)同时乘以\(p\)即可.

不妨钦定\(x \le y\)，如果知道了\(y\)，那么\(x\)的数量就是\(\varphi(y)\)（\(\text{phi(y)}\)）个。对于\(x \ge y\)同理。

注意数对\((1, 1)\)会被计算两次，答案要减一。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int kMaxN = 10000000 + 10;
typedef long long LL;
bool is_prime[kMaxN];
int phi[kMaxN];
int prime[kMaxN], top;
int n;
long long ans, phi_sum[kMaxN];
void Sieve() {
  memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
  top = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[++top] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= top && 1ll * i * prime[j] <= n; j++) {
      int p = prime[j];
      is_prime[i * p] = false;
      phi[i * p] = phi[i] * (i % p ? p - 1 : p);
      if (i % p == 0) break;
    }
  }
}
int main() {
  scanf("%d", &n);
  Sieve();
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    phi_sum[i] = phi_sum[i - 1] + phi[i];
  }
  for (int i = 1; i <= top; i++) {
    ans += phi_sum[n / prime[i]] * 2 - 1;
  }
  printf("%lld\n", ans);
  return 0;
}