【转载】二分图匹配
原博客地址：http://blog.csdn.net/thundermrbird/article/details/52231639
二分图匹配，自然要先从定义入手，那么二分图是什么呢？
二分图：
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二分图是特殊的图。
匹配：
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)
注意匈牙利算法，除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。
注：二分图匹配中还有一个hk算法，复杂度为o（sqrt（n）*e）由于复杂度降低较低，代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了，有兴趣可以自己百度，貌似卡这个算法的只有hdu2389
嘛 首先我们讲解一下匈牙利算法的过程：
匈牙利算法：
匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法，除了二分图多重匹配外均可使用
匈牙利算法实际上就是一种网络流的思想，其核心就是寻找增广路。具体操作就是嗯。。拉郎配
注：以下转自 http://blog.csdn.NET/dark_scope/article/details/8880547
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：
通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（
-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。
本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：
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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线
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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it
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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？
我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。
(黄色表示这条边被临时拆掉)
与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配(
)重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)
此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去
2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子
所以第三步最后的结果就是：
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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
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其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上
hdu2063 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063
就是一道裸二分图最大匹配的问题，直接上匈牙利算法即可
#include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn=1100; int line[maxn][maxn]; //男女喜欢关系 int girl[maxn],vis[maxn]; int k,m,n; int found(int x) //找男生x的女朋友 { for(int i=1;i<=m;i++) { if(line[x][i]&&!vis[i]) //男生x与女生i互相喜欢 { vis[i]=1; //女生i已经被访问过 if(girl[i]==0||found(girl[i])) //该女生没有男朋友 或者 他的男朋友能找到新的女朋友 { girl[i]=x; // 女生i 的男朋友就为x return 1; } } } return 0; } int main() { int x,y; while(~scanf("%d",&k),k) { scanf("%d%d",&m,&n); //m女生数，n男生数 memset(girl,0,sizeof(girl)); memset(line,0,sizeof(line)); for(int i=1;i<=k;i++) { scanf("%d%d",&x,&y); line[y][x]=1; //男生——>女生，该对男女生互相喜欢 } int sum=0; for(int i=1;i<=n;i++) { memset(vis,0,sizeof(vis)); if(found(i))sum++; //男生i找到女朋友 } printf("%d\n",sum); } return 0; }
