Algs4-2.3.14证明快排比较第i大和第j大元素的概率为2/(j-i)

 2.3.14证明在用快速排序处理大小为N的不重复数组时，比较第i大和第j大元素的概率为2/(j-i),并用该结论证明命题K。

证：设数组子集Zij={Zi,Zi+1,Zi+2,....Zj}并且Zi<Zi+1<Zi+2<...<Zj。

 由于元素只与切分元素进行对比

  1)当切分元素V为Zi+1...至Zj-1的某个元素时,满足Zi<V<Zj，Zi与Zj被分别划分到以V为界的左子数组、右子数组中，并且在后续过程中Zi与 Zj不会进行比较。

2)当Zi作为切分元素时，Zi选中的概率为1/(j-i+1)。或者当Zj作为上述子集的切分元素时，Zj选中的概率为1/(j-i+1)。

那么Zi 与Zj进行比较的概率=1/(j-i+1)

Zj与Zi进行比较的概率=1/((j-i+1)

那么两者进行比较的概率=Pij=1/(j-i+1)+1/(j-i+1)=2/(j-i+1)

证命题K

令Xij为Zi与Zj进行比较的随机变量,由于一对元素最多进行一次对比，那么对于一个长度为n的数组总的对比次数