线性代基础理论:矩阵
1、矩阵定义
矩阵就是一个二维的数据表格,一般用大写字母表示。Amn表示一个m行n列的矩阵。
矩阵并不是个自然的数学概念,二是人为创造的,有广发的工业用途,尤其在计算机领域。因此矩阵的运算也是人为定义的,没什么理论道理,实践证明这样的运算定义很有用。
方阵:如果Amn的m=n,则A可称之为方阵
单位矩阵:如果一个方阵A,Aii=1{i=0...n},而其他位置的元素皆为0,则A称之为单位矩阵,单位矩阵一般用I来表示。
2、矩阵加法
只有行列数一致的两个矩阵才能想加,A+B = C, Cij = Aij+Bij。 从定义可以知,矩阵加法满足交换律,结合律;
矩阵减法的定义类似。
3、矩阵与实数相乘
矩阵与一个实数相乘的结果是另一个矩阵,A*m = C, Cij = Aij*m。
4、矩阵相乘
矩阵乘法的定义,Amn*Bnk = Cmk,其中Cij = (Ai1*B1j+Ai2*B2j+...+Ain*Bnj)。可见只有A的列数与B的行数相等时,矩阵才可以相乘,矩阵相乘的算法复杂度(m*n*k)。
5、矩阵的逆
对于任何矩阵A,假设I是单位矩阵,则 A*I=A,I*A=A;当然这两个等式成立的前提分别是A可以和I相乘,I可以和A相乘。
如果A是方阵,则A的逆记作A',则AA'=I,A'A=I,可见这个定义是相互的,可以说A和A‘互为逆。
求逆的算法请参考相关书籍。
6、矩阵求解方程组
以二元一次方程组为例 {3x+2y=7,-6x+6y=6},只要抽取出系数矩阵,求出该矩阵的逆,用这个逆矩阵乘以向量[7,6]就可以得到解了。
7、矩阵求解向量组合
假设有三个二元向量v1,v2,v3,求解系数x,y使得v1*x+v2*y=v3,即v1和v2的线性组合。这个问题可以很容易转化成方程组的形式。
8、奇异矩阵
如果一个方阵的逆不存在,则称为奇异矩阵。逆不存在的充分必要条件是矩阵的行列式等于零。