线性代数基础:向量组合
对于n维向量组{V1,V2,V3,...,Vk},如果取任意的实数c1,c2,c3,...ck,则向量 V‘ = c1*V1+c2*V2+...+ck*Vk是向量组的一个线性组合,所谓线性就是指通过加法和数乘运算进行组合。
2、向量张成的向量空间
向量组所有的线性组合所组成的向量集合,称之为向量组张成的向量空间。向量V1,V2张成的向量空间可记为span(V1,V2)。
假设V1是二维向量,那么span(V1) = {cV1} 就是一条直线。
V2也是二维向量,那么span(V1,V2) = R2,前提是V1,V2的方向不一致。
span(V1,V2) = R2,因为R2中的任意一个向量都可以表示为c1*V1+c2*V2,但是中表示方法不会很直观。一般通过两个正交的单位向量(1,0)和(0,1)来表示。
3、线性无关
向量v1,v2,...,Vk,如果任意一个向量都不可以表示为其他向量的线性组合,则称这一组向量是线性无关的,否则称之线性相关。
从span(V1,V2,...,Vk)的角度考虑,如果这组向量不是线性无关的,那么其中必然存在多余的向量,扣除这些多余的向量,span不会发生任何变化。
线性无关一个等价的定义是,对于向量组v1,v2,...,Vk,不存在实数c1,c2,...,ck(ci不全为0)使得c1*v1+c2*v2+,...,+ck*vk=0成立。如果将向量展开,就可以得到一个k元的方程组,这个定义就转化成“方程组不存在非零解",这样就可以通过解方程的形式来计算一个向量组是不是线性无关的。
4、Rn的线性子空间
Rn是所有n维向量的集合,那么子空间就是Rn的一个子集。
如果V是Rn的一个子集,而且对于任意的v1,v2,...,vk,其线性组合仍然是V的成员(即,V对数乘,加法运算保持封闭性),称V是Rn的子空间。又称线性子空间。
任意向量张成的的空间必然是Rn的子空间。
5、子空间的基
对于子空间span(v1,v2,...,vn),如果v1,v2,...,vn是线性无关的,那么可以称v1,v2,...,vn是子空间的基。换言之,子空间的基是一组最小的可以张成子空间的向量集。
对于子空间的任意向量可以唯一地表示为基的一个向量线性组合。
子空间有不止一组基,实际上有无数组。