Josephus problem

http://www.geeksforgeeks.org/josephus-problem-set-1-a-on-solution/

int josephus(int n, int k)
{
  if (n == 1)
    return 1;
  else
    /* The position returned by josephus(n - 1, k) is adjusted because the
       recursive call josephus(n - 1, k) considers the original position 
       k%n + 1 as position 1 */
    return (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1;
}

 

 

需要解释的是那个递归公式。

The problem has following recursive structure.

  josephus(n, k) = (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1
  josephus(1, k) = 1

 

首先，这里数组的下标是从1..n，而不是从0..n-1。

josephus(1, k) = 1 表示的是递归的终止条件，即当只有一个人时，最后存活的就是他。

josephus(n, k) = (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1。

josephus(n, k) 表示的是最后存活的位置。当有n个人时，第一次杀掉的是第k个人。所以，我们假设从被杀掉的人的下一个重新编号，从1开始。所以josephus(n - 1, k)表示的就是n-1个人的情况最后的结果。那么我们现在需要做的就是把这个重新编号的编号变回原来的编号。

所以我们就在这个编号上加上一个k，并且对n取余。这里有一个问题是，取余操作得到的结果是从0..n-1， 而我们需要的是1..n。所以就得到了上面的公式。