HEOI2021考前乱看题解
浅薄的理解，仅供娱乐。
[CQOI2009]中位数
题意
给一个排列，求中位数为 \(b\) 的长度为奇数的连续子序列个数。（\(n <= 10^5\)）
题解
不要想的太复杂，发现只关心数的相对大小，所以可以抽象为 \(-1, 0, 1\)，然后就是求子序列和为 \(0\) 的序列个数，这个直接向左扫一遍，向右扫一遍然后用map记一下就可以了。
[SHOI2001]小狗散步
题解
因为题意太难抽象，所以就直接写题解了，一道网络流建模好题，关键是容易让人想到最短路等等，其实看看数据范围确实发现可以是二分图匹配，把所有距离小于关键点的点连边，跑二分图匹配就可以了，因为dinic解决二分图匹配的复杂度是 \(O(m\sqrt n)\)，所以数据范围可能出的不会很小，需要特殊考虑。
[NOI2001] 食物链
题意
A 吃 B，B 吃 C，C 吃 A，给若干句话，判断真假。
题解
扩展域并查集，把每个点扩展为 \(x_{self}\)，\(x_{eat}\)，\(x_{enemy}\)，分别表示 \(x\) 的同类，食物和天敌，最后合并同类就可以了，需要注意的是如果 \(x\;eat\;y\)，那么 \(x\) 的天敌是 \(y\) 的食物，需要考虑全面。
[JSOI2016]最佳团体
题意
给一颗树，选 \(i\) 就必须选 \(fa[i]\)，每个点有 \(c[i]\) 和 \(w[i]\)，求一个合法的点集，使得 \(sumc\) 和 \(sumw\) 的比值最大。
题解
涉及到比值，也就只能用 01分数规划 了，然后发现这道题就变成了求一个合法的最大值，直接树上背包就可以了，复杂度 \(O(n^2logn)\)。
分数规划的柿子：\(\sum_{i=1}^k c[i] - ans \times w[i] <= 0\)
[SHOI2011]双倍回文
题意
给定一个字符串，求最长双回文串。（\(n \leq 10^6\)）
题解
这里给出两种做法：
-
manacher
考虑到本质不同的回文串的级别是 \(O(n)\) 的，所以我们在做 manacher 的过程中，每次暴力更新就可以了，具体做法是每次从当前的右端点暴力扩展，这样的复杂度是对的。 -
回文自动机
直接预处理一个 \(trans[i]\) 数组表示长度不大于 \(len[i] / 2\) 最长回文后缀，这个处理可能需要一些细节，然后建完后直接扫一遍就可以了。
[SCOI2008]城堡
题意
给定一个 \(n\) 个点的图，让你选择 \(k\) 个点，使一个点到你选择的点的最小距离最小。（\(n <= 50\)）
题解
这道题主要是用于模拟退火的做法，可以发现这是一个序列，那么我们退火的过程就变化为了随机枚举两个位置进行交换，然后大概就可以过了。
一般模拟退火主要用于求解最优方案，且对于一个方案计算其答案的复杂度不太高时使用。
[AHOI2018初中组]分组
题意
给一个序列，要求你选出若干序列，使得每个序列的权值连续且不出现重复权值，问你最短的序列最长是多少。
题解
很好的贪心，显然每次尽可能的取是不对的，我们用数组 \(c[i]\) 表示 \(i\) 这个位置出现的次数，那么如果 \(c[i] <= c[i+1]\)， 那么我们可以继续取，否则我们就停止这次的选取，开始新的一次，这样的贪心显然是对的。
[TJOI2018]游园会
题意
一个串只能有 'N''O''I' 三种字符，给一个长度为\(n(n<=15)\) 的模式串，让你求有多少个长度为 \(m(m<=1000)\) 的串，满足 LCS 为 \(k\)，且不能出现 "NOI" 这个字串的方案数。
题解
主要用到了DP套DP的思想，我们发现对于一个固定的串，LCS是单调不降的，而且模式串的长度只有 15，所以我们定义 \(f[i][j][k]\) 表示填到了第 \(i\) 个字符，当前模式串被匹配的状态为 \(j\)，且这次填的字符为 \(k\) 的方案数，我们需要解决状态 \(j\) 的后继转移节点状态问题（\(tips\):DP套DP解决的一般都是状态不好转移的情况），所以我们再设一个 \(nxt[i][j]\) 表示当前状态为 \(i\)，且这次填第 \(j\) 个字符所能转移到的状态，然后这道题就解决了。
斐波那契数列
题意
求斐波那契数列的循环节（\(mod <= 2^{32}\)）
题解
本题有两种做法。
-
做法一
首先分解质因子，然后对于 \(p^k\) 求循环节，答案就是 \(\text{lcm}\)。
考虑怎么求 \(p^k\) 的循环节，首先有个结论 \(G(p^k) = G(p) \times p^{k-1}\)，其中 \(G(x)\) 表示 \(\bmod x\) 的循环节，然后给出对于 \(p > 5\) 的循环节结论：\(p \bmod 5 == (1,4),G(p) = p-1\)，\(p \bmod 5 == (2,3),G(p) =2p-2\)，然后这题就随便做了。 -
做法二
首先猜测循环节不会大于 \(6 \times mod\)，事实确实如此，然后有个东西叫做生日悖论，所以我们直接随机个几百次，每次放到 Hash 表里查询就行了，是不是非常简单，感觉实用性很高。
[TJOI2012]炸弹
题意
二维平面内有 \(n\) 个点，每个点可以连到与其的曼哈顿距离为 \(r\) 的点，且满足传递闭包，求至少需要几个初始点，才能连到所有的点。（\(n <= 10^5\)）
题解
暴力建图并查集是 \(n^2\) 的，所以我们还是考虑优化建图，这次的优化建图方式是扫描线加平衡树优化建图。
我们发现每个点的作用范围是个正方形，所以可以构建一条扫描线，我们的本意是想用扫描线使其一维满足条件，然后这个点向另外一维距离离它最近的两个点连边，这样每个点只用连两条边，是 \(O(n)\) 的，并且这样是正确的，因为需要维护最近的两个点，所以需要用平衡树维护。
[SNOI2017]炸弹
题意
平面上有 \(n\) 个点，每个点可以连到 \([l_i, r_i]\) 的点，且有传递闭包性质，求每个点能连到多少个点。（\(n <= 10^5\)）
题解
不难看出是个Tarjan了，不过边数达到了 \(O(n^2)\) 级别，发现本题的连边范围是一段区间，所以可以线段树优化建图。
线段树优化建图就是建 \(nlogn\) 个点，然后在这些点中连边，是的点数和边数都达到 \(nlogn\) 级别。
考虑缩点后的做法，直接求并不是很好求，所以我们考虑维护出每个点的所能扩展到的最左和最右，然后遍历一遍 DAG 就可以了。
[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology III
题意
强制在线，维护区间众数。（\(n,m <= 10^5\)）
题解
复杂度 \(O(n\sqrt n)\)，考虑分块，首先预处理出任意两个块之间的答案，这个部分的复杂度可以 \(O(n\sqrt n)\) 预处理，然后我们还需要用 vector 存下每个权值的所有位置，然后定义数组 \(pos[i]\) 表示 \(i\) 这个下标所在的 vector 里的位置，到此为止预处理完毕。
考虑一段询问 \([l, r]\)，我们先以 \([bel_l+1, bel_r-1]\) 的答案作为答案，然后分别往左扫和往右扫，如果对于当前的一个位置满足 \(vec[pos[i]+ans] <= r\) 那么可以更新答案，单次复杂度 \(O(\sqrt n)\)。
当然如果可以离线的话，我们当然可以用回滚莫队了。
【模板】莫队二次离线（第十四分块(前体)）
题意
给定一个序列，多组询问，每次求 \([l, r]\) 内的 \(popcount(a_i \;\text{xor}\; a_j) == k(i < j)\) 的个数。（\(n, m <= 10^5\)）
题解
发现可以离线，于是莫队，但是发现每次指针移动的贡献不是很好搞，所以考虑再次离线预处理出每次转移的贡献，我们设处理一次指针移动的复杂度是 \(O(k)\)，那么复杂度可以从原来的 \(O(nk\sqrt n)\) 优化到 \(O(nk + n\sqrt n)\)。
现在只考虑从区间 \([l, r]\) 移动到 \([l, r+1]\)，发现答案需要加上 \((r+1, [l, r])\) 的贡献，这个因为满足可减性，所以可以变成 \((r+1, [1, r]) - (r+1, [1, l])\)，发现前面的部分可以 \(O(nk)\) 预处理，后面的那个可以用莫队做到 \(O(n\sqrt n)\) 预处理，然后再跑一遍莫队就可以得到答案了。
对于预处理我们使用扫描线，我们可以利用异或的交换律来解决问题，定义 \(c[i]\) 为权值为 \(i\) 的异或后为 \(k\) 的个数，那么每次更新时只需要 \(++c[a[i]\; \text{xor}\;x]\)，其中 \(x\) 的 \(popcount\) 为 \(k\) 。
[Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II
题意
求区间逆序对。（\(n, m <= 10^5\)）
题解
显然可以莫队，然后单次转移用树状数组优化可以做到 \(O(n\sqrt n logn)\)，不过这道题只能拿20分，然后考虑如何优化莫队的单次转移。
不难发现莫队的转移可以二次离线，大概的方式等同于二次离线的板子题，所以复杂度可以优化到 \(O(n\sqrt n + nlogn)\)。
[APIO/CTSC 2007]数据备份
题意
数轴上给你 n 个点，你需要找出 K 个点不重复的点对，是的点对之间的距离之和最小。 （\(n <= 10^5\)）
题解
考虑贪心，显然点对之间是独立的，不会出现相交和包含的情况，就是说每次只会选择相邻的两个点作为一个点对，所以我们可以采用贪心，但是你发现选了 \(i, j\) 就不能选择 \(j, j+1\) 和 \(i-1, i\)，所以我们可以采用可撤销贪心来解决掉这个问题。
最小mex生成树
题意
让你求出一棵生成树，使其所有边权组成的集合的mex最小。 （n, m<=10^6）
题解
你发现mex不满足单调性这个性质，所以不大能二分答案，你考虑答案能否是 \(x\) 的判定条件，如果我们把所有为x的边权的边去掉，发现还可以形成一颗生成树，那么答案可以为 \(x\)，当然可以会更小，但是符合题目要求。
考虑怎么求，因为没有单调性，所以你需要把所有的都 \(judge\) 一遍，所以我们可以用线段树分治来解决这个问题，就是用个扩展域并查集来解决这个问题，时间复杂度 \(O(nlog^2n)\)。
[BJWC2010]严格次小生成树
题意
求出一棵严格次小生成树。 \(n,m <= 10^5\)
题解
我们先用 \(Kruskal\) 求出一棵最小生成树，考虑到 \(Kruskal\) 的本质是贪心思想，那么如果我们遍历每条未加入树中的边，然后找到它所形成的环中的最大的边，这个就可能是一棵次小生成树了。
我们可以选择LCT来维护或者倍增来维护最大值和次大值，维护次大值的原因是你需要严格的次小生成树。
区间本质不同子串个数
题意
给一个字符串，每次询问求 \([l, r]\) 内的不同子串个数。（\(n,m <= 10^5\)）
题解
这个比求本质不同回文串还简单一点，显然先离线下来扫描线，然后考虑右端点为 \(i\) 的时的变化，发现变的只有以 \(i\) 为右端点的子串，如果我们知道它们上一次出现的位置，就可以树状数组维护差分了。
考虑怎么快速得到上次出现的位置，发现一定构成了一段段的等差序列，我们可以用LCT维护，每次 access 的过程中，每段实链一定是一段等差序列，所以我们直接用LCT维护就可以了，复杂度 \(O(nlog^2n + mlogn)\)
[2021.4.6多校省选模拟31]亚特兰大
题意
每次修改一条边的边权，每次求路径上边权的gcd为1的路径条数，修改次数 <= 100。（\(n <= 10^5\)）
题解
首先可以想到莫比乌斯反演，这样就只用求是某个gcd倍数的答案了，暴力的话不难想到只留下边权为gcd倍数的边，然后用并查集维护，复杂度
\(O(nQlogn)\)。
然后有一个优化就是发现可以用可撤销的并查集，这样平均下来复杂度可以做到\(O(nQlogn*240)\)，可以拿70分。
我们发现只有100条边的边权会发生变化，我们可以更换加边顺序，最后加入这100条边，然后对于每个gcd，直接跑完100组询问，这样实现的好的话可以做到
\(O(240*(n+100 * 100)logn)\)，然后就可以通过了。
当然许多其他做法也是可以过的。
[2021.4.5多校省选模拟30]最小表示
题意
求最小表示下的一个字符串的本质不同子串个数。 （\(n <= 5 /times 10^4\)）
题解
这种题的大概思路都是更换hash的表示方法，然后用 \(O(nlog^2)\) 的后缀数组解决问题。
因为这道题的字符集很小，所以我们可以暴力求出来以每个位置为开头的字符集变换情况，然后一个子串的 Hash
拆分成每种字符集的答案之和。
后面直接套后缀数组板子就可以了，复杂度 \(O(nlog^2*sum)\)，\(sum\) 表示字符集大小。
下面给出一种可以解决字符集很大的解决办法，我们定义一个位置i的hash值为它与上一个与它相同的字符的距离，这样可以用主席树维护，其余部分不变，复杂度可以做到
\(O(nlog^3)\)。
[2021.4.5多校省选模拟30]环形划分
题意
给定一个 n 个点的无向完全图，请找出若干边不重复的三元环，使得剩下的边数 <= n - 1 （n <= 1000）
题解
就是一个构造题，考虑这样一个等式 \(i + j + k \equiv 0(mod\; n)\)，发现对于一对 \([i, j]\)，\(k\) 是固定的，但是我们需要排除 \(k == i\) 的情况，发现不会超过 n - 1，然后本题完结。
