反演总结
快要省选了，赶紧把数学补一补，这里把基本上所有的反演总结了一下，没有写证明啊（小编不怎么会）。
子集反演
似乎一般在数据范围比较小的时候使用。
形式一（子集内求和）
\[f_S = \sum _{T \subseteq S} g_T \Leftrightarrow g_S = \sum _{T \subseteq S}(-1)^{|S-T|}f_T
\]
好像这种形式用的不多。
形式二
\[f_S = \sum _{S\subseteq T}g_T \Leftrightarrow g_S = \sum _{S\subseteq T}(-1)^{|T-S|}f_T
\]
好像一般都用这个，确实长得差不多。
一般就是恰好和至少之间相互转化的套路了。
二项式反演
个人感觉其实是子集反演中的元素无区别的情况，所以一般用的更多。
二项式定理
\[(x+y)^n = \sum _{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^iy^{n-i}
\]
算是课内数学了吧，不过确实有用。
形式一
\[f_n = \sum _{i = 0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i\binom{n}{i}f_i
\]
基本用不到，因为把 -1 的流动过去就变成了形式二。
形式二
\[f_n = \sum _{i = 0}^{n}\binom{n}{i}g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i
\]
这个柿子因为左边没有 -1 ，所以更常用一些。
这个柿子可以理解为至多和恰好吧。
形式三
\[f_n = \sum _{i = n}^{\infty}(-1)^i\binom{i}{n}g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i = n}^{\infty} (-1)^{i}\binom{i}{n}f_i
\]
不说了，因为还有形式四。
形式四
\[f_n = \sum _{i = n}^{\infty}\binom{i}{n}g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i = n}^{\infty} (-1)^{i-n}\binom{i}{n}f_i
\]
这个绝对是最常用的了，恰好和至少，经典套路啊。
莫比乌斯反演
与上面的两个没有什么关系，主要就两个柿子。
形式一
\[f_n = \sum_{d|n}g_d \Leftrightarrow g_n = \sum_{d|n}\mu_{\frac{n}{d}}f_d
\]
这个是约数形式的反演。
形式二
\[f_n = \sum_{n|d}g_d \Leftrightarrow g_n = \sum_{n|d}\mu_{\frac{d}{n}}f_d
\]
这个倍数形式的，一般来看这个更常用。
Min-Max 反演（容斥）
一般都用到概率和期望上，因为期望也是满足的。
形式一
\[\max(S) = \sum_{T \in S} (-1)^{|T|+1}\min(T)
\]
形式二
\[\min(S) = \sum_{T \in S} (-1)^{|T|+1}\max(T)
\]
斯特林反演
这个需要先会斯特林数。
其实总的来看就一种形式，不过还是分成四种吧。
形式一
\[f_n = \sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}
n\\
i
\end{Bmatrix}g_i
\Leftrightarrow
g_n = \sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}
n\\
i
\end{bmatrix}
(-1)^{n-i}f_i\]
形式二
\[f_n = \sum_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}
n\\
i
\end{Bmatrix}(-1)^{n-i}g_i
\Leftrightarrow
g_n = \sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}
n\\
i
\end{bmatrix}
f_i\]
好像没啥变化啊。
形式三
\[f_n = \sum_{i=n}^{\infty}\begin{Bmatrix}
i\\
n
\end{Bmatrix}(-1)^{i-n}g_i
\Leftrightarrow
g_n = \sum_{i=n}^{\infty}\begin{bmatrix}
i\\
n
\end{bmatrix}
f_i\]
形式四
\[f_n = \sum_{i=n}^{\infty}\begin{Bmatrix}
i\\
n
\end{Bmatrix}g_i
\Leftrightarrow
g_n = \sum_{i=n}^{\infty}\begin{bmatrix}
i\\
n
\end{bmatrix}
(-1)^{i-n}f_i\]
确实基本差不多，大佬勿喷。
单位根反演
我也是昨天才看到，没有做过题。
一个等式
\[[n|a] = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega _n^{a\times i}
\]
反演形式
\[[a\equiv b \mod n] = [a-b \equiv 0\mod n] = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega _n^{(a-b)i} = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega _n^{ai}\omega_n^{-bi}
\]
应该没有写错吧，似乎一般用在和 mod 有关的一些东西上。
后记
我知道的也就这么多了，好像这么多也就差不多够用了吧。
