C/C++快速排序及优化详解
一、快速排序原理
快速排序是一种基于分治思想的排序算法。在快排中，我们的工作主要集中在划分而不是合并子问题。
首先我们要选择一个中轴，把比中轴大的元素放在它的右边，比他小的放在它的左边。中轴的选择有很多种，其中最简单的就是把第一个元素当作中轴。
二、从两端同时扫描交换
首先选择子数组的第一个元素为中轴，即P = A[s]。分别从子数组的两端进行扫描，并且将扫描到的元素与中轴进行比较。从左到右的扫描（下面用指针i表示）从第二个元素开始。扫描忽略小于中轴的元素，直到遇到第一个大于等于中轴的元素（注释1）为止。从右到左的扫描（下面用指针j表示）从最后一个元素开始。扫描忽略大于中轴的元素，直到遇到第一个小于等于中轴的元素为止。
当两端的扫描全部终止之后，会发生3种情况：
i与j不相交
这时意味着i<j，只要简单的交换A[i]与A[j]的值，再分别对i+1，j-1，然后继续开始扫描。
i与j相交
i与j相交，也就是i > j。把A[s]（中轴）和A[j]交换后我们就完成了对该数组的一次划分。此时j左面元素小于A[j]，右边元素大于A[j]。
i与j相等
如果扫描终止之后两个指针指向同一个元素，也就是i=j，被指向的元素的值一定等于p（注释2）。此时j左面元素小于A[j]，右边元素大于A[j]。我们得到了数组的一次划分。
我们可以把第二种和第三种情况合起来，只要i>=j，就交换中轴和A[j]的位置。
伪代码：
//以第一个元素为中轴，对子数组进行划分
//输入：数组A[0..n-1]中的子数组A[s...e]，由左右下标s和e定义
//输出：A[s...e]的一个划分，分裂点的位置作为函数的返回值
p <- A[s]
i <- s; j <- e+1
repeat
repeat i <- i+1 until A[i] >= p
repeat j <- i-1 until A[j] <= p
swap(A[i], A[j])
until i >= j
swap(A[i], A[j])//当i>=j时撤销最后一次交换
swap(A[s],A[j])
return j
参考代码如下：
#include<iostream>
using namespace std;
void swap(int &a,int &b){
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
void qsort(int a[],int s,int e){
if(s >= e) return;
int p = a[s];
int i = s+1,j = e;
while(true){
while(a[j] > p) j--;
while(a[i] < p && i < e) i++;//注释3
if(i < j) swap(a[i++],a[j--]);
else{
swap(a[s],a[j]);
break;
}
}
qsort(a,s,j-1);
qsort(a,j+1,e);
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
int a[n];
for(int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
qsort(a,0,n-1);
for(int i = 0;i < n;i++)
if(i != n-1) cout << a[i] << " ";
else cout << a[i] << endl;
return 0;
}注释1：为什么遇到与中轴相等的元素也要终止扫描呢？事实上不中止也是可以的，但是当遇到有很多相同元素的数组时，用这个方法可以将数组分的更加平均，从而大大提升算法运行速度。假设有一个长度为n的元素相同的数组，如果遇到等于中轴不中止扫描，那么i会移动到最后一个位置，或者j会移动到第一个位置，那么划分的子数组长度就会分别是n-1 和 1。
注释2：从右向左遍历，当遇到小于或者等于中轴的元素时停止，从左向右遍历，当遇到大于等于中轴的元素时停止。当它们停止时，说明i左侧元素全部小于中轴，j右侧元素全部大于中轴。这样如果i与j停止在同一个元素上，那么说明这个元素小于等于中轴并且大于等于中轴，所以这个元素等于中轴。
注释3：在这种情况下，下标i可能会越过子数组的边界。可以像上面那样每次加1时检查下标越界的可能性，也可以给数组加一个“限位器”，防止它越过n这个位置。但是更巧妙的选择中轴方法可以避免这种情况。
三、一端挖坑，另一端填补
代码如下：
这种写法的主要思想就是从右向左找到第一个小于中轴的数，并与中轴交换，再从左到右找到第一个大于中轴的数，并与中轴交换。这种写法里中轴的位置是不断变化的。
#include<iostream>
using namespace std;
void swap(int &a,int &b){
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
void qsort(int a[],int s,int e){
if(s >= e) return;
int p = a[s];
int i = s,j = e;
while(i != j){
while(j > i && a[j] >= p) j--;
swap(a[i],a[j]);
while(i < j && a[i] <= p) i++;
swap(a[i],a[j]);
}//处理完后，a[i] = p;
qsort(a,s,i-1);
qsort(a,i+1,e);
}
int main()
{
int a[10] = {1,8,9,5,4,9,4,56,4,6,};
qsort(a,0,9);
for(int i = 0;i < 10;i++) cout << a[i] << " ";
return 0;
}四、更好的中轴选择方法
更好的中轴选择方法：快排的一个缺陷就是当待排序数组基本有序时，它的复杂度和冒泡排序没什么俩样，甚至更糟，所以就要进行优化。随机快速排序，它使用随机的元素作为中轴；三平均划分法，它以最左面最右面和最中间元素的中位数作为中轴。相比之下三平均划分法更常用。
三分平均划分法思想本质没变，仅仅只是优化了中轴选择方法而已，注意代码中与上面的不同之处：
#include<iostream>
using namespace std;
void swap(int &a,int &b){
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
void cmpswap(int &a,int &b){
if(a > b) swap(a,b);
}
void qsort(int a[],int s,int e){
if(s >= e) return;
int r = s+(e-s)/2;
cmpswap(a[r],a[s]),cmpswap(a[s],a[e]);
int p = a[s];
int i = s+1,j = e;
while(true){
while(a[j] > p) j--;
while(a[i] < p && i < e) i++;
if(i < j) swap(a[i++],a[j--]);
else{
swap(a[s],a[j]);
break;
}
}
qsort(a,s,j-1);
qsort(a,j+1,e);
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
int a[n];
for(int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i];
qsort(a,0,n-1);
for(int i = 0;i < n;i++)
if(i != n-1) cout << a[i] << " ";
else cout << a[i] << endl;
return 0;
}首先你可能发现定义了一个新函数，用来交换a、b的值，使a的值总是大于b的值。现在我们的目的是使中轴的元素为最左最右和中间元素中的中位数，也就是要求a<p<b，其中p为中轴，也就是说我们只要让a[s]的值位于a[r]和a[e]中间就可以了（因为a[s]是中轴），所以我们可以通过cmpswap()函数来使a[r] < a[s] < a[e] 或者 a[e] < a[s] < a[r]。事实证明这种方法可以大大提高快速排序的适用性。
五、其他的优化
老实说我觉得上面的优化够用了，但是不免有的人会精益求精。事实上快速排序也有很多缺点，比如它对基本有序的数组排序效率极差，但是多年以来人们对这个基本算法进行了坚持不懈的改良，其中有一些重要成果可以了解：
- 随机快速排序
- 三平均划分法
- 当子数组足够小的时候改用插入排序
- 划分方法的改进（三路划分）
三路划分的思想：将数组分成三段，每段的元素数分别小于、等于、大于中轴元素。
