C/C++ 平衡二叉树笔记（AVL树）

个人笔记，仅供复习

1.概念

1.1 背景：搜索树结点的不同插入次序，将导致不同深度和平均查找长度ASL

1.2 平衡因子（Balance Factor，简称BF）：BF(T) = h(L) - h(R)，其中h(L)和h(R)分别为左、右子树高度。

1.3 平衡二叉树（Balance Binary Tree）（AVL树）定义：

• 空树
• 任一结点左右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF(T)|<=1

1.4 代码实例：

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{
    int Data; /* 结点数据 */
    AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
    AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
    int Height;       /* 树高 */
};

1.5 平衡二叉树的高度能否达到log2(n)?

        设n(h)为高度为h的平衡二叉树的最少结点数。结点数最少时：

和斐波那契数列（Fn）对比：

2.平衡二叉树的调整

2.1 背景：当对平衡二叉树进行插入或删除操作时，可能会改变左右子树的高度，因此可能会破坏平衡性。所以需要在插入或删除操作后进行调整。

2.2 四种调整情况：

• RR旋转（右单旋）
• LL旋转（左单旋）
• LR旋转
• RL旋转

2.3 代码实例：

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{
    ElementType Data; /* 结点数据 */
    AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
    AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
    int Height;       /* 树高 */
};
 
int Max ( int a, int b )
{
    return a > b ? a : b;
}
 
AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B */
  /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     
 
    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;
    B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;
  
    return B;
}
 
AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
  /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
     
    /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
    return SingleLeftRotation(A);
}
 
/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/
 
AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
    if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    } /* if (插入空树) 结束 */
 
    else if ( X < T->Data ) {
        /* 插入T的左子树 */
        T->Left = Insert( T->Left, X);
        /* 如果需要左旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )
            if ( X < T->Left->Data ) 
               T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
            else 
               T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
    } /* else if (插入左子树) 结束 */
     
    else if ( X > T->Data ) {
        /* 插入T的右子树 */
        T->Right = Insert( T->Right, X );
        /* 如果需要右旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )
            if ( X > T->Right->Data ) 
               T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
            else 
               T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
    } /* else if (插入右子树) 结束 */
 
    /* else X == T->Data，无须插入 */
 
    /* 别忘了更新树高 */
    T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;
     
    return T;
}