计算拓扑排序的两种方法

个人笔记，仅供复习 ——《数据结构编程实验》P351

计算拓扑排序的方法有两种：删边法和采用DFS计算拓扑排序。

1.删边法：

由于每一条拓扑子路径的首节点的入度为0，因此可以采取如下办法：

• 步骤1：从图中选择一个入度为0的点且输出之
• 步骤2：从图中删除该节点及其所有出边（即与之相邻的所有点入度-1）

反复执行这两个步骤，直至所有节点都输出，即整个拓扑排序完成；或者直至剩下的图中再没有入度为0的节点，这就说明此图中有回路，不可能进行拓扑排序。

1.2 算法时间复杂度分析：统计所有节点入度的时间复杂性为（VE）；接下来删边花费的时间也是（VE），总花费时间为O（VE）。

1.3 优化：使用队列保存入度为0的顶点，则可以将这个算法复杂度将为O（V+E）。

2.采用DFS计算拓扑排序：

一个有向图是无回路的，当且仅当对图进行DFS遍历时没有反向边B。那么，怎样发现反向边呢？方法很简单：调用DFS（y）算法计算y可达的节点集。若x在该节点集，则<x,y>为反向边，时间复杂度为O（E）。

2.1 由此可以得到用DFS算法计算拓扑方案的方法：以访问一个节点算作一个时间单位，把遍访了u的后代的时间称作结束时间f[u]，（f[u]可以通过DFS算法得到）。显然，对图进行DFS遍历时没有反向边B，即对于图中的任意边（u，v），都有f[v] < f[u]。

2.2 时间复杂度分析：DFS的运行时间为O（E），每个节点压入topo栈的时间为O（1），因此执行拓扑排序所需的总时间为O（E）。