哈理工第八届程序设计竞赛同步赛（高年级）B题（铺砖问题）解题报告。

题目描述：

小乐乐想要给自己搭建一个积木城堡。

积木城堡我们假设为n*m的平面矩形。

小乐乐现在手里有1*2，2*1两种地砖。

小乐乐想知道自己有多少种组合方案。

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输入描述:

第一行输入整数n,m。(1<=n,m<=10)

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输出描述:

输出组合方案数。

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样例输入

2 3

样例输出

3

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解析：本题是动态规划中的状态压缩经典题型，铺砖问题的模板。想解此题需要考虑两个问题，如何表示当前状态，以及如何状态转移。

以下思路参考自：《算法竞赛进阶指南》李煜东

首要解决的问题是如何确定状态。我们可以观察得到，第 i 行的状态（砖块铺法）只与第 i - 1 行的状态有关，于是我们自然的想到以行为状态，向下递推。具体可行性证明如下：

参考上图，可见标号1，2，3。假设我们所处位置为第 i 行第 j 列（ i ，j ），那该位置上方块只可能有三种情况（横着放左右俩块一样，都看作1）：

    1.如果我们处于1方块上，说明该方块已放置结束，对下一行没有影响，也就是说下一行不需要续接。

    2.假设我们处于方块2上，那么我们知道下一行必须再续接一个方块，即（ i + 1, j） 上需要再放一个方块来和方块2组成一个竖着放的砖，这时对下一行的状态有影响。

    3.处于方块3时，我们只能放一个方块来续接上一行的方块，即和方块2来组成一个竖着放的砖。此时对下一行无影响。

综上所述，当且仅当当前方块为2时，才对下一行有影响，而我们假设每个砖块都以当前行为起点横着放或竖着放，所以我们只需用两个状态，分别表示该位置对下一行是否有影响。只需要两个状态，自然而然的想到状态压缩。我们假设有m位二进制数，第k位为1时表示第k列对下一行有影响，为0表示没有影响。至此状态表示已解决，接下来需要解决状态转移问题。

设F[ i , j ]表示第 i 行的状态为 j 时，前 i 行所有铺法的总数。j 是用十进制整数记录 m 位二进制数。

第 i - 1 行的状态 k 能转移到第i行的状态 j ，当且仅当：

    1.j & k = 0 。这保证了每个数字1下面必须是数字0，也就是竖着放的砖上半部分在下一行必须要有下半部分。

    2.j 和 k 执行按位或运算结果的二进制表示中，每一段连续的0都必须是偶数个。这个很好理解，2*1的砖横着放，不管放了多少，一定是2的倍数嘛。

以上即为状态转移条件。

代码示例：（优化1：用到的数组只有两行，故可以用滚动数组。优化2：提前计算出每种状态的连续0是否为偶数个，提高可读性和运行速度）

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 12;
int dp[2][1<<MAXN];
bool is_even[1<<MAXN];
void init(int m){
	for(int i = 0;i < 1<<m;i++){
		int cnt = 0;		//当有偶数个0时cnt为0，否则为1。
		int odd = 0; 		//当该状态所有连续0个数都为偶数时，odd为0，否则为1 
		for(int j = 0;j < m;j++)
			if(i >> j & 1)	odd |= cnt,cnt = 0;
			else cnt ^= 1;
		is_even[i] = odd | cnt;
	}
}
int solve(int n,int m){
	init(m);
	dp[0][0] = 1;
	int idx = 1;
	for(int i = 1;i <= n; i++, idx ^= 1)
		for(int j = 0;j < 1<<m ;j++){
			dp[idx][j] = 0;
			for(int k = 0;k < 1<<m ;k++)
				if((j&k) == 0 && !is_even[j|k])
					dp[idx][j] += dp[idx^1][k];
		}
	return dp[idx^1][0];
}
int main(){
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	cout << solve(n,m) << endl;
	return 0;
}