莫比乌斯函数与莫比乌斯反演

以下笔记整理自：《算法设计编程实验》吴永辉

1.结论

1.1 莫比乌斯函数：莫比乌斯函数可以看做一个辅助函数，它在莫比乌斯反演公式中用到。

1.2 莫比乌斯反演：莫比乌斯反演公式是 根据和函数来求算数函数的一个公式。

1.3 算数函数：所有在正整数上运算的函数称为算数函数。

1.4 和函数：设 f 是算数函数，f 的和函数为。其中d为n的约数，所以 f 的和函数F(n)就是n的所有约数的算数函数之和。

1.5 总结：如果我们已知和函数，想求其对应的算数函数，那么我们可以根据和函数的定义来反推其算数函数，反推出的公式叫莫比乌斯反演公式。又因为莫比乌斯反演公式具有普适性与抽象性（即对求每个算数函数，该公式都适用），为了达到这种普适性，需要一个辅助函数，就叫做莫比乌斯函数，它本质上是和函数的系数。

2.前置概念

2.1 欧拉函数：定义自寻。设n的欧拉函数为phi（n）。

2.2 积性函数：定义自寻。欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。

2.3 欧拉函数公式：

• 如果p是一个素数，且k是正整数，则phi（p^k） = p^k - p^(k-1)。
• 如果m和n是互素的正整数，则phi（mn） = phi（m）*phi（n）。

2.4 唯一分解定理：即任意一个自然数n都可以分解为若干个素数之积（没说不同素数啊）。

3.莫比乌斯函数

3.1 莫比乌斯函数的作用：见1.1。

3.2 莫比乌斯函数的定义：

如果n有平方因子，则；如果n没有平方因子，并且分解后有奇数个素因子，则；如果n没有平方因子，且分解后有偶数个素因子，则。

3.3 莫比乌斯函数求法（伪代码）：

3.4 代码实例：

#include<cstdio>
const int maxn = 1e5;
int v[maxn],miu[maxn];
void mobius(int n){
	for(int i = 1;i <= n;i++)	miu[i] = 1,v[i] = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(v[i])	continue;
		miu[i] = -1;
		for(int j = 2*i;j <= n;j += i){
			v[j] = 1;
			if((j/i)%i == 0)	miu[j] = 0;
			else miu[j] *= -1;
		}
	}	
}
int main(){
	mobius(maxn);
}

4.莫比乌斯反演公式

4.1 莫比乌斯反演公式：设f是算数函数，F是f的和函数，，则，其中n是正整数。

4.2