使用单高斯模型来建模有一些限制,例如,它一定只有一个众数,它一定对称的。举个例子,如果我们对下面的分布建立单高斯模型,会得到显然相差很多的模型:

 

于是,我们引入混合高斯模型(Gaussian Mixture Model,GMM)。高斯混合模型就是多个单高斯模型的和。它的表达能力十分强,任何分布都可以用GMM来表示。例如,在下面这个图中,彩色的线表示一个一个的单高斯模型,黑色的线是它们的和,一个高斯混合模型:

 

在小球检测的栗子中,我们试图对红色小球建立单高斯模型(红和绿这二元),会发现红色小球的观测值不是很符合所建立的模型,如下图:

 

此时,如果我们采取高斯混合模型(两个二元高斯分布),会发现效果好了很多,如下图:

 

下面,我们来详细地介绍一下高斯混合模型,高斯混合模型的数学形式如下:

[公式]

其中,[公式]是均值为[公式],协方差矩阵为[公式]的单高斯模型,[公式][公式]的权重系数([公式]),[公式]是单高斯模型的个数。

前面我们提到了GMM的优点(能够表示任何分布),当然GMM也有缺点。其一,参数太多了,每一个单高斯模型都有均值、协方差矩阵和权重系数,另外还有单高斯模型的个数[公式]也是其中一个参数,这使得求解GMM十分复杂。其二,有时候所建立的高斯混合模型对观测值的建模效果很好,但是其他值可能效果不好,我们称这个缺点为过度拟合(Overfitting)。

2、求解高斯混合模型:EM算法

在求解单高斯分布的时候,我们用最大似然估计(MLE)的方法得到了理论上的最优解。当我们使用相同的方法试图求解高斯混合模型的时候,会卡在中间步骤上(具体来说,是单高斯分布求和出现在了对数函数里面)。索性我们可以用迭代的方法来求解GMM,具体来说,最大期望算法(Expectation Maximization algorith,EM)。

上一节提到,我们想要求解GMM如下:

[公式]

这其中需要求解的变量很多:[公式][公式][公式][公式]。为了简化问题,我们假定[公式]是预先设定好的,并且每个单高斯分布的权重相等,即假定:

[公式]

这样,我们需要确定的就只剩下每个单高斯分布的参数([公式][公式])了。

前面提到,这个模型是没有解析解(理论最优)的。取而代之,我们采取迭代的方法逼近最优解(大家可以回想一下牛顿法求近似求解方程,或者遗传算法)。

在牛顿法中,我们需要预先猜测一个初始解,同样在EM算法中,我们也需要预先猜测一个初始解([公式])。

在EM算法中,我们引入一个中间变量[公式],其中[公式]是单高斯分布的个数,[公式]是观测值的数目。

直观地可以这样理解:在确定了所有单高斯分布之后,可以计算观测值[公式]发生的概率(分母部分)和第[公式]个单高斯分布[公式]下观测值[公式]发生的概率(分子部分),这样[公式]就可以理解为第[公式]个高斯分布对观测值[公式]发生的概率的贡献了。如下表所示:


[公式]

表中最后一行[公式]可以理解为第[公式]个单高斯分布对整个GMM的贡献。

例如,当GMM中[公式]时(即由两个单高斯分布组成):

 

在这个图中,对于观测值[公式][公式]是第一个单高斯分布[公式][公式]发生的概率,[公式]是第二个单高斯分布[公式][公式]发生的概率,[公式]是在整个GMM下[公式]发生的概率;[公式]表示[公式][公式]发生概率的贡献,[公式]表示[公式][公式]发生概率的贡献。

 


当我们算出了所有的[公式]之后,我们再反过来用它更新每一个单高斯分布。更新的公式为:[公式]

大家可以想一想,对于第[公式]个高斯分布[公式][公式]可以理解为第[公式]个观测值[公式]的贡献,而[公式]表示[公式]的平均值,用[公式]来更新[公式]就很好理解了,进而再更新协方差矩阵[公式]


这样,两组值互相更新,当相邻两个步骤值的差小于事先设定一个阈值(threshold)时(收敛),我们停止循环,输出[公式][公式]为所求。

值得一提的是,EM算法的结果和初值有很大关系,不同初值会得到不同的解。(想象一下GMM模型其实是多峰的,不同的初值可能最终收敛到不同的峰值,有的初值会收敛到全局最优,有的初值会收敛到局部最优)

实战:小球检测

具体任务在这个网址:小球检测

简单来说,给你一些图片作为训练集,让你对黄色小球进行建模,建模完成后,读入最左边的原始图片,要求能像最右边的图片一样标识出小球的位置:

(注:我们使用matlab完成所有代码)

第一步:建立颜色模型

前面几节我们提到,要建立高斯分布模型,首先要有很多观测值,所以,我们将在这一步里面采集很多观测值,再建立高斯模型。课程里面提供了19张图片作为训练集供采样:

 

我们编写代码mark.m,作用为读入一张一张图片,然后手动圈出图片中的黄色小球,将圈中部分的像素RGB值存入观测值。

 

imagepath = './train';
Samples = [];
for k=1:19
    I = imread(sprintf('%s/%03d.png',imagepath,k)); % read files into RGB
    R = I(:,:,1);
    G = I(:,:,2);
    B = I(:,:,3);
</span>%<span style="color: #000000;"> Collect samples 
disp(</span><span style="color: #800000;">''</span><span style="color: #000000;">);
disp(</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #800000;">INTRUCTION: Click along the boundary of the ball. Double-click when you get back to the initial point.</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #000000;">)
disp(</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #800000;">INTRUCTION: You can maximize the window size of the figure for precise clicks.</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #000000;">)
figure(</span><span style="color: #800080;">1</span>), mask =<span style="color: #000000;"> roipoly(I); 
figure(</span><span style="color: #800080;">2</span>), imshow(mask); title(<span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #800000;">Mask</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #000000;">);

sample_ind </span>= find(mask &gt; <span style="color: #800080;">0</span>); % <span style="color: #0000ff;">select</span><span style="color: #000000;"> marked pixels
R </span>=<span style="color: #000000;"> R(sample_ind);
G </span>=<span style="color: #000000;"> G(sample_ind);
B </span>=<span style="color: #000000;"> B(sample_ind);

Samples </span>= [Samples; [R G B]]; %<span style="color: #000000;"> insert selected pixels into samples

disp(</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #800000;">INTRUCTION: Press any key to continue. (Ctrl+c to exit)</span><span style="color: #800000;">'</span><span style="color: #000000;">)
pause

end

save('Samples.mat', 'Samples'); % save the samples to file

figure,
scatter3(Samples(:,1),Samples(:,2),Samples(:,3),'.');
title(
'Pixel Color Distribubtion');
xlabel(
'Red');
ylabel(
'Green');
zlabel(
'Blue');

 

 

结果我们采集了6699个观测值,散点图如下:
我们选用多元高斯分布作为我们的模型,应用第四节中的结论,编写代码coefficient.m求出平均值[公式]和协方差矩阵[公式]并存储到本地以供后续使用。

 

mu = mean(Samples); % mu

sig=zeros(3,3); % sigma
for i=1:N
data
=double(Samples(i,:));
sig
=sig+(data-mu)'*(data-mu)/N;
end

% save the coefficients to files
save(
'mu.mat', 'mu');
save(
'sig.mat', 'sig');

 

接下来,我们需要编写函数detecBall,以图像为参数,以划分好的黑白图像和小球中心为输出,如下,I是输入的图像,segI是划分好的黑白图像,loc是球的中心点。detecBall.m的具体代码如下:

function [segI, loc] = detectBall(I)
load('mu.mat');
load('sig.mat');

Id=double(I); % array in size of (row, col, 3)

row=size(Id,1);
col
=size(Id,2);

% x_i - mu
for i=1:3
Id(:,:,i)
= Id(:,:,i) - mu(i);
end

% reshape the image to a matrix in size of (rowcol, 3)
Id
=reshape(Id,row
col,3);

% calc possibility using gaussian distribution
% be careful of using * and .* in matrix multiply
Id
= exp(-0.5* sum(Idinv(sig).Id, 2)) ./ (2*pi)^1.5 ./ det(sig)^0.5;

% reshape back, now each pixels is with the value of the possibility
Id
=reshape(Id,row,col);

% set threshold
thr
=8e-06;

% binary image about if each pixel 'is ball'
Id
=Id>thr;

% find the biggest ball area
segI
= false(size(Id));

CC = bwconncomp(Id);
numPixels
= cellfun(@numel,CC.PixelIdxList);
[biggest,idx]
= max(numPixels);
segI(CC.PixelIdxList{idx})
= true;
%figure, imshow(segI); hold on;

S = regionprops(CC,'Centroid');
loc
= S(idx).Centroid;
%plot(loc(1), loc(2),'r+');

 

需要注意的一点是,求像素属于小球的概率的时候,尽量用矩阵运算,而不要用循环,否则会效率低下,请读者仔细揣摩计算技巧,灵活运用矩阵的[公式]运算。

接下来,我们就可以测试小球检测的效果啦!

我们编写test.m测试训练集的19张图片:

imagepath = './train';
for k=1:19
    I = imread(sprintf('%s/%03d.png',imagepath,k));
    [segI, loc] = detectBall(I);
    figure, imshow(segI); hold on; 
    plot(loc(1), loc(2), '+b','MarkerSize',7); 
    disp('Press any key to continue. (Ctrl+c to exit)')
    pause
end

 

效果如下:

posted on 2019-08-23 21:59  一抹烟霞  阅读(8657)  评论(1编辑  收藏  举报

Live2D