芝士：线性齐次递推

背景

给定数列h的前k项，其后第n项满足\(\sum_{i=1}^{k}a_ih_{n-i+1}\)，求第n项

很容易得到的是一个矩阵快速幂的解法\(O(k^3*log_n)\)

但是某些大犇表示对于某些特定的数列可以更快

特征值&特征向量

有常数\(\lambda\)，和矩阵A，向量\(\vec{a}\)

满足\(A*\vec a=\lambda*\vec a\)

则向量\(\vec a\)成为A的特征向量，\(\lambda\)为A的特征值

过程

矩阵快速幂的时间复杂度集中在求\(A^n\)上，所以我们考虑对其优化

我们模仿矩阵快速幂的过程

\(\begin{bmatrix}h_k\\h_{k-1}\\.\\.\\.\\h_1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_k\\1,0,\cdots,0\\0,1,\cdots,0\\.\\.\\0,0,\cdots,1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}h_{k+1}\\h_k\\.\\.\\.\\h_2\end{bmatrix}\)

注意这里的\(h_1\)只是中途的某一个向量的第这一项，与数列h中的\(h_1\)无关

因为有\(\lambda\)的存在

所以有

\(\begin{bmatrix}h_k\\h_{k-1}\\.\\.\\.\\h_1\end{bmatrix}*\lambda=\begin{bmatrix}h_{k+1}\\h_k\\.\\.\\.\\h_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda*h_k\\\lambda*h_{k-1}\\.\\.\\.\\\lambda*h_1\end{bmatrix}\)

\(h_2=\lambda h_1\)

\(h_3=\lambda h_2=\lambda^2h_1\)

\(h_{k+1}=\lambda^{k}h_1\)

然后我们又知道

\(h_{k+1}=\sum_{i=1}^{k}a_ih_{k-i+1}\)

联立可得

\(\lambda^kh1=\sum_{i=1}^{k}a_ih_{k-i+1}=\sum_{i=1}^{k}a_i\lambda^{k-i}h_1\)

之后就是

\(\lambda^kh_1-\sum_{i=1}^{k}a_i\lambda^{k-i}h_1=0\)

\(\lambda^kh_1-a_1\lambda^{k-1}h_1-\cdots-a_kh_1=0\)

\(\lambda^k-a_1\lambda^{k-1}-\cdots-a_k=0\)

这就是一个k次的方程，\(\lambda\)就是这个方程的解，当然对于不同的\(h_1\)，\(\lambda\)不同，但是那无所谓啊，我们只需要 \(\lambda\)存在就行了

我们用\(F(x)=x^k-\sum_{i=1}^{k}a_ix^{k-i}\)

肯定可以有函数\(G(x)\)和函数\(R(x)\)，满足

\(x^n=F(x)*G(x)+R(x)\)

这里的n是数列第n项

下面到了我们所喜爱（伤肝）的多项式环节

多项式

这样我们就可以将\(R(x)\)所求出

根据Cayley-Hamilton定理所说的@￥！@#&*#@！

可以得到\(F(A)=0\)，这里的A是矩阵A

所以\(A^n=R(A)\)，

时间复杂度为\(O(k^4)\)

等等，作者你是不是在逗我？矩阵快速幂都比这快，我们要这有用？（举起菜刀）

不不不，我们调换一下顺序

\(\vec a*A^n=\vec a*R(A)=\vec a*\sum_{i=0}^{k-1}r_iA^i=\sum_{i=0}^{k-1}\vec ar_iA^i\)

一个向量乘上一个矩阵，时间复杂度为\(O(k^2)\)，所以总时间复杂度为\(O(k^3)\)

但这样就是这个方法的极限了么？不

我们先不考虑\(r_i\)

我们考虑\(\vec a*A\)，是什么，不就是将\(\vec a\)上移？

即

\(\begin{bmatrix}a_k\\a_{k-1}\\\vdots\\a_1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_k\\\vdots\\a_2\end{bmatrix}\)

虽然我们\(\sum_{i=0}^{k-1}\vec aA^i\)会得到k个向量，但是这k个向量不同的元素之后2k个

我们暴力将前2k个求出来，时间复杂度为\(O(k^2)\)，再将其填回去，顺便将答案求出，时间复杂度为\(O(k^2)\)，

但是，多项式的除法时间复杂度为多少？n太大了，根本存不下，我们只能边快速幂边取模，

时间复杂度为\(O(max(k^2,k*log_k*log_n))\)