芝士：polya定理

前置芝士

群

定义集合 \(G=\{a,b,c,·····\}\)，和集合中的元素的二元运算（需要两个元素来运算）*，

上面所写的*不是乘法

若满足下面四个条件，这称这个集合\(G\)在运算*的条件下构成一个群

1.运算*是封闭的，对于\(a,b\in G\)，那么如果$c = a * b \(，则\)c\in G$

2.运算*是可结合的，也就是指\((a * b) * c=a * (b * c)\)

3.存在单位元e，也就是指对于\(a\in G\) ，则有\(e * a =a\)

4.存在逆元，也就是对于\(a\in G\)，存在\(a * b = e\)，同时\(b\)满足\(b\in G\)

满足上述条件，则称集合\(G\)在运算\(*\)下构成一个群，记为\((G,*)\)

举个栗子

\(G=\{x|x\in Z\}\)，在+运算下构成一个群，记为\((G,+)\)

置换群

定义集合\(\{1,2,3,\cdots,n\}\)的一一映射为一个n元置换，记为

\(\delta=\begin{pmatrix}1 &2&3&4&\cdots & n\\\delta(1)&\delta(2)&\delta(3)&\delta(4) &\cdots &\delta(n)\end{pmatrix}\)

其实你可以将\(\delta\)视为一种置换的规则

定义\(S_n=\{\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n\}\)

也就是指\(S_n\)这一个集合中的每一个元素都是一种置换规则

设\(\delta_1和\delta_2\)为\(S_n\)中的两个元素

我们定义置换的乘法运算为

\((\delta_1\delta_2)x=\delta_1\delta_2(x)\)

我们发现，在置换过程中，

我们用\(\delta\)的置换规则不停的对其中的元素进行置换

每一个元素最终都会回到他本身的那个位置，

也就是形成了一个环

比如对于置换\(\delta=\begin{pmatrix}1,2,3\\2,1,3\end{pmatrix}\)

可以记为\(\delta=(1,2)(3)\)

每一个括号为一个循环，括号中元素的顺序是有影响的

定理：任何一个置换都可以转换成若干个不相交括号的乘积，且是唯一的

Burnside定理

不动点

对于一个置换g，若一个染色方案s经过g的方案之后不变，则称s为g的不动点，将g的不动点的数量记为\(\lambda(g)\)，

等价类

在置换群G下本质相同的染色方案所构成的集合成为等价类

内容

设\(G=\{g_1,g_2,\cdots,g_n\}\)，为目标集[1,n]上的置换群，如果\(\lambda(g)\)为置换g中长度为1的循环的个数，如果G将[1,n]分成l个等价类，那么有

\(l=\frac{1}{\vert G\vert}\sum_{i=1}^k\lambda(g_i)\)

证明

性质

在目标集（也就是染色方案集）[1,n]中取一个元素k，一定存在G的一个子集\(G_k\),

使得\(\forall g\in G_k\)，都有\(g(k)=k\)

我们将染色方案k所在的等价集记为\(E_k\)

有一个性质

\(\vert G_k\vert * \vert E_k\vert=\vert G\vert\)

性质的证明

我们来分类讨论

如果\(\vert E_k\vert=1\)

很明显\(\vert G_k\vert=\vert G\vert\)

考虑\(\vert E_k\vert>1\)

我们思考将置换作用于k，会得到什么结果

无非就两种，k没变，或者是k得到k所在的等价类的其他元素

如果k没变，

因为\(\vert E_k\vert>1\)，所以我们可以取一个不等于k的元素，记其为\(k_1\)，

我们记那么k\(\rightarrow\)k1的置换规则为\(f\) ，

我们再设\(\sigma =f * g\),

\(g\)为\(G_k\)中的任意一个元素

那么有

\(\sigma(k)=f*g(k)=f(k)=k_1\)

显然\(\sigma\)的数量等于\(\vert G_K\vert\)

因为在证明的过程中，我们没有用到\(k_1\)的任何性质

所以\(\forall k_i\in E_k,k\rightarrow k_i\)的置换数量都为\(\vert G_k\vert\)

所以性质成立

go on

设等价类的数量为\(l\)，设等价类为\(L\)

\(\sum_{L}\sum_{k\in L}\vert G_k\vert=l*\vert G\vert\)（上面的性质）

所以

\(l=\frac{1}{\vert G\vert}\sum_{L}\sum_{k\in L}\vert G_k\vert\)

\(l=\frac{1}{\vert G \vert}\sum_{g\in G}\lambda(g)\)

步入正题

背景

我们发现Burnside定理其实有很多的局限性，

数学家polya在Burnside的基础上改进了一下，

就成为了polya定理

内容

如果对于一种置换规则g，他能表示为\(\gamma_g\)个不相交的集合，染色的数量为m，则g的不动点数量为\(m^{\gamma_g}\)

于是，本质不同的染色方案数就为

\(l=\frac{1}{\vert G\vert}\sum_{g\in G}m^{\gamma_g}\)

证明

咕咕咕