CSUSTOJ-石上优不想留级（一维坐标三分及思维解法）

题目连接：http://acm.csust.edu.cn/problem/4043
CSDN食用链接：https://blog.csdn.net/qq_43906000/article/details/109460023

Description

众所周知，石上同学由于沉迷游戏，导致成绩惨淡，要是这次考试再不及格，他就要留级了，由于这次考前接受过四宫前辈的教导，如果再不及格，石上一定会死的很惨(因为四宫前辈太恐怖了)，于是石上通宵刷题，但是他被一道简单题卡住了，于是他向你求助（因为四宫前辈太可怕，不敢去问），希望你能帮帮他。

这道题是这样的：在一个三维空间上，有 \(n\) 个点，每个点的坐标用 \((x_i, y_i, z_i)\) 表示， 现在需要你找到一个点 \((x, y, z)\) ，使得其他 \(n\) 个点到这个点的曼哈顿距离最小。

两个点 \(i, j\) 之间的曼哈顿距离 \(dis\) 定义为：\(dis = |x_i - x_j| + |y_i - y_j| + |z_i - z_j|\)

\(|a - b|\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的差值的绝对值

input

第一行一个整数 \(n\) , \((1 \leq n \leq 1e5)\)

接下来有 \(n\) 行，每行 \(3\) 个数 \(x, y, z\) ，代表第 \(i\) 个数的坐标， \((-1e9 \leq x,y,z \leq 1e9)\)

output

输出一个整数，表示答案

Sample Input 1
3
-5 -10 -9
-2 7 2
-9 5 -4
Sample Output 1
35

Sample Input 2
2
-3 2 -2
-2 -5 -5
Sample Output 2
11

emmm，看一下要求的，假设我们找到的点为P那么答案就是：\(ans=min(\sum_{i=1}^{n}|x_p-x_i|+|y_p-y_i|+|z_p-z_i|)\)，那么由于都是取绝对值的，所以我们可以直接化为\(ans=min(\sum_{i=1}^{n}|x_p-x_i|)+min(\sum|y_p-y_i|)+min(\sum z_p-z_i)\)，也就是我们只需要解决一个问题就好了，也就是解决求解\(min(\sum x_p-x_i)\)，很明显这个结果在一维坐标轴上从左到右他是一个先降后增的。也就是一个二次函数抛物线形的，那么也就可以直接三分求解\(x_p\)了，其他的同理可得。

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mac=1e5+10;
const int inf=1e9+10;

int x[mac],y[mac],z[mac];
int n;

ll cal(ll x,int *a)
{
	ll ans=0;
	for (int i=1; i<=n; i++)
		ans+=abs(x-a[i]);
	return ans;
}

ll solve(int *a) {
    ll l = -inf, r = inf;
    while(l < r) {
        ll x1 = floor(1.0 * (2ll * l + r) / 3);
        ll x2 = floor(1.0 * (l + 2ll * r + 2) / 3);
        if(cal(x1,a) < cal(x2,a)) r = x2 - 1;
        else l = x1 + 1;
    }
    return r;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	scanf ("%d",&n);
	for (int i=1; i<=n; i++)
		scanf ("%d%d%d",&x[i],&y[i],&z[i]);
	ll xp=solve(x);
	ll yp=solve(y);
	ll zp=solve(z);
	ll ans=0;
	for (int i=1; i<=n; i++)
		ans+=(abs(xp-x[i])+abs(yp-y[i])+abs(zp-z[i]));
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

当然实际上用不着这么麻烦，实际上有个结论，我们直接取每个坐标的中位数就行了。

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define srt(x) sort(x,x+n)
const int mac=1e5+10;
typedef long long ll;

ll x[mac],y[mac],z[mac];

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n;
	scanf ("%d",&n);
	for (int i=0; i<n; i++)
		scanf ("%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&z[i]);
	srt(x);srt(y);srt(z);
	ll ans=0;
	for (int i=0; i<n; i++)
		ans+=abs(x[n/2]-x[i])+abs(y[n/2]-y[i])+abs(z[n/2]-z[i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}