CSUSTOJ 1127-区间方差（线段树）

题目链接：http://acm.csust.edu.cn/problem/1127
CSDN食用链接：https://blog.csdn.net/qq_43906000/article/details/108026329

Description

线段树进阶题

n个数m次操作1 pos x 将位置为pos的值修改为x

2 l r 查询区间l，r的方差乘以区间长度的平方

Input
输入：第一行，n，m

接下来一行n个数接下来m行操作

\(1\ pos\ x\ 2\ l\ r(1 \leq n, m \leq 2^{16})(0\leq ai\leq 10^4)\)

Output
输出每次询问的值

Sample Input 1
4 4
1 2 3 4
2 1 4
1 2 4
2 1 4
2 2 4

Sample Output 1
20
24
2

emmm,题面有点难看。。。可能是当时出题人还不太会Markdown吧。

我们可以先写出它要用的公式：\(S^2=\frac{\sum_{i=l}^r(a_i-\bar{a})^2}{r-l+1}\times (r-l+1)^2\)
接下来我们就是将其化简一波：
\(S^2=\sum_{i=l}^r(a_i-\bar a)^2\times L\)
\(\ \ \ \ \ =L\sum_{i=l}^ra_i^2+(\frac{sum}{L})^2-2a_i\frac{sum}{L}\)
\(\ \ \ \ \ =\sum a_i^2L+\sum \frac{sum^2}{L}-\sum 2a_isum\)
\(\ \ \ \ \ =L\sum a_i^2+L\frac{sum^2}{L}-2sum\sum a_i\)
\(\ \ \ \ \ =L\sum a_i^2+sum^2-2sum^2\)
\(\ \ \ \ \ =L\sum a_i^2-sum^2\)

于是就会发现。。。。这不就是个sb线段树嘛。。。。维护一下区间和，维护一下区间平方和就完事了。

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define lc rt<<1
#define rc rt<<1|1
typedef long long ll;
const int mac=1e5+10;

int a[mac];
ll sum[mac<<2],suma2[mac<<2];
ll ans1=0,ans2=0;

ll pw2(ll x) {return x*x;}

void push_up(int rt)
{
	sum[rt]=sum[lc]+sum[rc];
	suma2[rt]=suma2[lc]+suma2[rc];
}

void build(int l,int r,int rt)
{
	if (l==r){
		sum[rt]=a[l];
		suma2[rt]=pw2(a[l]);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lson); build(rson);
	push_up(rt);
}

void update(int l,int r,int rt,int pos,int val)
{
	if (l==r){
		sum[rt]=val;
		suma2[rt]=pw2(val);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (mid>=pos) update(lson,pos,val);
	else update(rson,pos,val);
	push_up(rt);
}

void query(int l,int r,int rt,int L,int R)
{
	if (l>=L && r<=R){
		ans1+=suma2[rt];
		ans2+=sum[rt];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (mid>=L) query(lson,L,R);
	if (mid<R) query(rson,L,R);
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n,m;
	scanf ("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1; i<=n; i++) scanf ("%d",&a[i]);
	build(1,n,1);
	for (int i=1; i<=m; i++){
		int opt,l,r,pos,x;
		scanf ("%d",&opt);
		if (opt==1){
			scanf ("%d%d",&pos,&x);
			update(1,n,1,pos,x);
		}
		else {
			scanf ("%d%d",&l,&r);
			if (l==r) {printf("0\n"); continue;}
			ans1=0; ans2=0;
			query(1,n,1,l,r);
			printf("%lld\n",(r-l+1)*ans1-pw2(ans2));
		}
	}
	return 0;
}